Liczby rzeczywiste jakie to

Co to są liczby rzeczywiste?

POTRZEBNE DEFINICJE:
> liczby naturalne – zbiór liczb {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; …}
> liczby całkowite – zbiór liczb {… ; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; …}
> liczby wymierne – liczba, którą można zapisać za pomocą ułamka zwykłego (iloraz dwóch liczb całkowitych)*
> liczby niewymierne – liczby, których nie można zapisać za pomocą ułamka zwykłego

*pamiętaj, że nie można dzielić przez zero (dzielna to dowolna liczba całkowita, natomiast dzielnik nie może być równy zero)

Zbiór liczb rzeczywistych (R) to zbiór liczb wymiernych i niewymiernych. Warto pamiętać, że liczby wymierne można podzielić na liczby całkowite, a z nich jeszcze można wyróżnić liczby naturalne. Wszystkie te liczby są liczbami rzeczywistymi. Można powiedzieć więc, że zbiór liczb wymiernych, zbiór liczb niewymiernych, zbiór liczb całkowitych, a także zbiór liczb naturalnych są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych.

Liczby rzeczywiste można bardzo dobrze przedstawić na osi liczbowej. Każdy punkt na osi liczbowej odpowiada jednej liczbie rzeczywistej, a każda liczba rzeczywista ma swoje miejsce na osi liczbowej.

Tak naprawdę na lekcji w szkole podstawowej i ponadpodstawowej posługuje się tylko liczbami rzeczywistymi. Często wykorzystuje się zbiór liczb rzeczywistych do określenia dziedziny (D: R).

HISTORIA – JAK POWSTAŁY LICZBY RZECZYWISTE?
Pitagorejczycy zaobserwowali, że przekątna kwadratu i jego bok są niewspółmierne (żadna liczba wymierna nie jest stosunkiem długości przekątnej kwadratu i jego boku). To odkrycie było właśnie pierwszą wykrytą niewymiernością. Znana od czasów starożytnych liczba pi (stosunek długości dowolnego okręgu do jego średnicy) również okazała się liczbą niewymierną. Udowodnił ten fakt Lambert w 1767 roku. Każda z czasem wykryta niewymierność oznaczała lukę w zbiorze liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych jest więc wypełnieniem wszystkich luk, jakie mogą wystąpić. Za pierwszą konstrukcję liczb rzeczywistych (która zakończyła się sukcesem, bo prób było o wiele więcej) uważa się teorię proporcji Eudoksosa, która została opisana w Elementach Euklidesa.

NO DOBRZE, ALE CZY ISTNIEJE COŚ POZA LICZBAMI RZECZYWISTYMI? CZY SĄ LICZBY NIERZECZYWISTE ?
Wiele osób może się więc zastanawiać, czy istnieje coś poza liczbami rzeczywistymi. W szkołach podstawowych i ponadpodstawowych (a przynajmniej przeważnie) liczby rzeczywiste to wszystkie liczby, jakich się używa. Na studiach jednak zostaje wprowadzone takie pojęcie, jak liczby zespolone. I tu zaczyna się cała zabawa, ponieważ liczby zespolone rozszerzają zbiór liczb rzeczywistych. Liczby zespolone można zapisać za pomocą następującego wzoru:

z – liczba zespolona
a, b – liczby rzeczywiste
i – jednostka urojona

Zbiór liczb rzeczywistych zapisujemy za pomocą symbolu R, natomiast liczby zespolone zapisujemy za pomocą symbolu C.

Czym różnią się więc liczby zespolone od liczb rzeczywistych? Jak wiadomo, w liczbach rzeczywistych nie można wyciągać pierwiastków parzystego stopnia z liczb ujemnych. W liczbach zespolonych natomiast można wyciągać pierwiastki parzystego stopnia z liczb ujemnych. Pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej to liczba urojona (i).

Liczbę i można przedstawić w następujący sposób:

*wszystkie ilustracje są wykonane przez autorkę w programie Paint*