Liczby wymierne i niewymierne

Liczby wymierne są takimi liczbami, które da się zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Oczywiste jest, że dzielnikiem nie może być zero. To oznacza więc, że jeśli liczba była liczbą wymierną, musi dać się zapisać ją jako ułamek zwykły. Zbiór tych liczb oznacza się jako Wobec tego:

Liczby wymierne mają szczególne przypadki są nimi liczby całkowite oraz liczby naturalne. Liczby wymierne składają się z ciała ułamków pierścienia liczb całkowitych. Jeśli w zbiorze par liczb całkowitych gdzie ich następnik jest różny od zera, to można tą konstrukcję przedstawić jako relację równoważności tylko wtedy, gdy Określa się działania:

oraz

dla zbioru klas abstrakcji dla tej relacji. Para zapisywana jest jako ułamek albo jako wtedy, gdy .
Przykłady:

Liczby niewymierne w odróżnieniu od liczb wymiernych nigdy nie da się zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Wszystkie te liczby uzupełniają luki w przekrojach Dedekinda inaczej cięciach Dedekinda (oznaczają one parę podzbiorów porządku liniowego, która wyznacza cięcie w tym zbiorze) zbioru liczb wymiernych , czego skutkiem jest powstanie przestrzeni metrycznie zupełnej, której własność mówi, że każdy zbieżny ciąg Cauchy’ego, który był utworzony z punktów tej przestrzeni, posiada granicę w punkcie należącym do tej przestrzeni.

Rozwinięcie dziesiętne dowolnej liczby niewymiernej nie może być skończone ani okresowe, innymi słowy te rozwinięcie jest nieskończone oraz nieokresowe.
Przykłady:

Liczby wymierne oraz liczby niewymierne mają kilka cech wspólnych. Po pierwsze wszystkie wyżej wymienione są liczbami rzeczywistymi. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczany jest jako bądź Oprócz tego, oba rodzaje liczb można przestawić w postaci ułamków łańcuchowych. Różnicą będzie jednak to, że liczby wymierne będą skończonymi ułamkami łańcuchowymi, natomiast liczby niewymierne będą nieskończonymi ułamkami łańcuchowymi.