Liczby zespolone

W szkołach średnich jesteśmy uczeni, że dla i2=-1 nie ma rozwiązań. Jest to prawda, ale tylko dla zbioru liczb rzeczywistych, bo wtedy faktycznie nie możemy wyciągać pierwiastków z liczb ujemnych, natomiast w zbiorze liczb zespolonych możemy obliczyć wynik tego równania. Liczby zespolone wprowadzane są na uczelniach. Z doświadczenia wiem, że są koszmarem dla wielu studentów, ale czy warto się ich bać? W opracowaniu przedstawię definicję liczb zespolonych, podstawowe działania na nich oraz liczne przykłady, które najlepiej zobrazują wiedzę.

Pierwsza wzmianka o liczbach zespolonych pochodzi z XIX wieku, kiedy Carl Gauss po raz pierwszy wprowadził to zagadnienie, natomiast już wcześniej powstawały rozważania na temat liczb zespolonych.

Wśród zbiorów liczb wyróżniamy między innymi zbiór liczb zespolonych, który oznaczamy literą C.

Liczbę zespoloną można zapisać w postaciach:

postać algebraiczna
z = a + bi,
gdzie a jest częścią rzeczywistą (Re z = a, łac. realis), natomiast b jest częścią urojoną liczby zespolonej (Im z = b, łac. imaginalis). Symbol i oznacza jednostkę urojoną: i2 = -1.

postać trygonometryczna
z = |z|(cosφ + isinφ),
gdzie moduł |z| = , cosφ = oraz sinφ=.

Liczba zespolona może składać się tylko z części urojonej lub tylko z części rzeczywistej. W takich przypadkach nazywamy je liczbą czysto urojoną oraz czysto rzeczywistą.

Przykłady:
W liczbie z = 5 + 2i: część rzeczywista to 5, część urojona to 2.
W liczbie z = 5: część rzeczywista to 5, części urojonej nie ma, więc jest to liczba czysto rzeczywista.
W liczbie z = 2i: część urojona to 2, części rzeczywistej nie ma, więc jest to liczba czysto urojona.

Re(5 + 2i) = 5
Im(5 + 2i) = 2
Re(5) = 5
Im(5) = 0
Re(-2i) = 0
Re(-2i) = -2

W zbiorze liczb zespolonych można obliczyć pierwiastek z liczby ujemnej.
Dla przykładu przedstawię liczbę:
x2 = -16
W zbiorze liczb zespolonych nie ma rozwiązania dla takiego równania. Rozpatrujemy zbiór liczb zespolonych. Korzystając z tego, co napisane jest wcześniej, czyli i2 = -1:

x = 4i V(symbol alternatywy, lub) x = -4i.

Sprawdźmy teraz powyższy wynik:

x2 = (4i)2 = 16i2 = 16 (-1) = -16
x2 = (-4i)2 = 16i2 = 16 (-1) = -16
Jak widzimy, wynik się zgadza.

W zbiorze liczb zespolonych, podobnie jak w zbiorze liczb rzeczywistych, wyróżniamy cztery podstawowe działania matematyczne, czyli dodawanie, odejmowanie, mnożenie oraz dzielenie.

Dodawanie
Najważniejszą zasadą w dodawaniu liczb zespolonych jest grupowanie części rzeczywistej oraz części urojonej.

z1 = a + bi
z2 = x + yi

z1 + z2 = (a + x) + (b + y)i

Dla przykładu przedstawię dodawanie dwóch liczb zespolonych.
y = 3 + 4i
z = 5 + 2i
y + z = 3 + 4i + 5 + 2i = 3 + 5 + 4i + 2i
Najpierw dodajemy wszystkie składniki, które są częścią rzeczywistą, a następnie część urojoną.
y + z = 8 + 6i

Odejmowanie
Podobnie jak przy dodawaniu, grupujemy składniki, a następnie wykonujemy na nich operację odejmowania.

z1 = a + bi
z2 = x + yi

z1 + z2 = (a-x) + (b-y)i

Dla przykładu przedstawię odejmowanie dwóch liczb zespolonych.

y = 3 + 4i
z = 5 + 2i

y – z = 3 + 4i – (5 + 2i) = 3 + 4i – 5 – 2i = -2 + 2i

Mnożenie
Podczas mnożenia liczb zespolonych, mnożymy każdy wyraz z jednego nawiasu przez każdy wyraz z drugiego nawiasu.

z1 = a + bi
z2 = x + yi

z1 z2 = (a + bi) (x + yi) = a x + a yi + bi x + bi yi

Dla przykładu przedstawię mnożenie dwóch liczb zespolonych.

y = 3 + 4i
z = 5 + 2i

y z = (3 + 4i) (5 + 2i) =
= 3 5 + 3 2i + 4i 5 + 4i 2i =
= 15 + 6i + 20i + 8i2 =
= 15 + 26i + 8 (-1) =
= 7 + 26i

Powyższym przykładem pokazałam, że w mnożeniu trzeba zastosować inne działania, czyli podstawianie i2 = -1 oraz dodawanie lub odejmowanie poszczególnych liczb.

Dzielenie
W dzieleniu należy znać teorię o sprzężeniu liczb zespolonych.
Sprzężona liczba zespolona ma przeciwny znak do liczby zespolonej.

Dla przypomnienia, liczbę zespoloną oznaczamy: z = a + bi, dlatego sprzężenie tej liczby zapiszemy jako:

Dzielenie liczb zespolonych polega na pomnożeniu ułamka dwóch liczb zespolonych przez sprzężenie liczby zespolonej z mianownika. Następnie w liczniku wykonujemy mnożenie liczb zespolonych oraz upraszczamy wynik do najmniej skomplikowanej postaci.

Dla przykładu przedstawię dzielenie liczb zespolonych.

y = 3 + 4i
z = 5 + 2i

y : z = (3+4i) : (5+2i) = = = = = +

Powyższy przykład pokazuje, że nie zawsze po podzieleniu wyniki wychodzą idealne. Często wynikiem będą ułamki, przez które uczniowie mogą mieć wrażenie, że wynik jest błędny.

Podsumowując, w każdym działaniu na liczbach zespolonych stosujemy zasady, które opisane zostały w powyższym tekście. Dlatego, żeby podzielić liczby zespolone, potrzeba znajomości dodawania, mnożenia oraz sprzężenia liczb zespolonych. Najważniejsze jest pamiętanie o podstawowych zasadach matematyki, takich jak kolejność działań oraz wyraźne oznaczanie znaków dodawania oraz odejmowania, aby zminimalizować ryzyko pomyłki. Pominięcie minusa w obliczeniach może sprawić, że wynik będzie zupełnie inny.