Opracowanie:
Logarytm
Logarytm
Struktura dokumentu:
Definicja logarytmu
Wyznaczanie wartości logarytmu – ćwiczenia i zadania
Wyznaczanie liczby logarytmowanej – ćwiczenia i zadania
Wyznaczanie podstawy logarytmu – ćwiczenia i zadania
Wykresy funkcji logarytmicznej
Własności logarytmów
Egzamin maturalny na poziomie podstawowym – wybrane zadania dotyczące logarytmów
Egzamin maturalny na poziomie rozszerzonym – wybrane zadania dotyczące logarytmów
Definicja logarytmu:
Jeśli >1 oraz >0 i nie jest jedynką to możemy zdefiniować logarytm jako:
Uwaga:
Liczbę a jest nazywana podstawą logarytmu
Liczbę b nazywamy liczbą logarytmowaną
Liczba c to wartość logarytmu
Ćwiczenie 1: Wyznacz wartość logarytmu, jeśli:
a)
b)
c)
d)
e)
Ad. a) Rozwiązanie:
b) Rozwiązanie:
c) Rozwiązanie:
d) Rozwiązanie:
e)
Zadanie: Wyznacz wartość logarytmu
a)
b)
c)
d)
e)
Ad. a) Rozwiązanie:
Ad. b) Rozwiązanie:
Ad. c) Rozwiązanie:
Ad. d) Rozwiązanie:
Ad. e) Rozwiązanie:
Ćwiczenie 2: Wyznacz liczbę logarytmowaną, jeśli:
a)
b)
c)
Ad. a) Rozwiązanie:
Ad. b) Rozwiązanie:
Ad. c) Rozwiązanie:
Zadanie: Wyznacz wszystkie liczby , dla których określone jest wyrażenie
a)
b)
c)
Ad. a)Rozwiązanie:
Wyrażenie jest określone tylko dla takich , które spełniają nierówność:
>
>
więc
Ad. b) Rozwiązanie:
Wyrażenie jest określone tylko dla takich , które spełniają nierówność:
>
Rozwiązując nierówność kwadratową otrzymujemy:
>
wyznaczamy pierwiastki
zaznaczamy wyznaczone pierwiastki na osi i szkicujemy wykres paraboli
Otrzymujemy rozwiązanie
Ad. c) Rozwiązanie:
Wyrażenie jest określone tylko dla takich , które spełniają nierówność:
>0
Rozwiązując nierówność kwadratową otrzymujemy:
wyznaczamy pierwiastki:
zaznaczamy wyznaczone pierwiastki na osi i szkicujemy wykres paraboli:
Otrzymujemy rozwiązanie
Ćwiczenie 3: Wyznacz podstawę logarytmu, jeśli:
a)
b)
c)
Ad. a) Rozwiązanie:
(uwaga z definicji logarytmu wynika, że jest liczbą dodatnią różną od jeden)
Ad. b) Rozwiązanie:
Ad. c) Rozwiązanie:
Ćwiczenie. Dany jest wykres funkcji
Uzupełnij poniższą tabelę sprawdź uzyskane wyniki:
Rozwiązanie:
Uzasadnienie:
czyli:
czyli:
Ćwiczenie. Dany jest wykres funkcji
Uzupełnij poniższą tabelę sprawdź uzyskane wyniki:
Rozwiązanie:
Uzasadnienie:
czyli:
czyli:
Ćwiczenie. Naszkicuj wykres funkcji
Wybieramy argumenty
dla :
dla :
dla :
tworzymy tabelę:
Szkicujemy wykres:
Zadanie: Naszkicuj wykres funkcji
a)
b)
Ad. a) Rozwiązanie:
Szkic wykresu:
Ad. b) Rozwiązanie:
Szkic wykresu:
Uwaga:
Zauważmy, że dla każdej dodatniej i różnej od 1 liczby rzeczywistej a
oraz
Uzasadnienie:
Rozpatrzmy logarytm:
Rozpatrzmy logarytm:
Logarytm dziesiętny to taki logarytm w którym podstawa logarytmu jest równa 10.
Ćwiczenie 4: Oblicz:
a)
b)
c)
Ad. a) Rozwiązanie:
Wykorzystując, definicje logarytmu otrzymujemy:
oraz
stąd:
Ad. b) Rozwiązanie:
Wykorzystując, definicje logarytmu otrzymujemy:
oraz
stąd:
Ad. c) Rozwiązanie:
Wykorzystując, definicje logarytmu otrzymujemy:
oraz
stąd:
Ćwiczenie 5. Oblicz:
a)
b)
c)
Ad. a) Rozwiązanie:
Wykorzystując, definicje logarytmu otrzymujemy:
Ad. b) Rozwiązanie:
Wykorzystując, definicje logarytmu otrzymuje
oraz
stąd:
Ad. c) Rozwiązanie:
Wykorzystując, definicje logarytmu otrzymujemy:
oraz
stąd:
Własności logarytmów:
Logarytm iloczynu: 
Logarytm ilorazu: 
Logarytm potęgi:
Ćwiczenie 1: Oblicz wykorzystując powyższe własności logarytmów
a)
b)
c)
Ad. a) Rozwiązanie:
Ad. b) Rozwiązanie:
Ad. c) Rozwiązanie:
Uwaga: Zauważmy, że dla każdej dodatniej i różnej od 1 liczby rzeczywistej a zachodzi poniższy wzór:
Wzór:
Ćwiczenie 2: Oblicz wykorzystując powyższe własności logarytmów
a)
b)
c)
Ad. a) Rozwiązanie:
Ad. b) Rozwiązanie:
Ad. c) Rozwiązanie:
Ćwiczenie 3: Oblicz wykorzystując powyższe własności logarytmów
a)
b)
c)
Ad. a) Rozwiązanie:
Ad. b) Rozwiązanie:
Ad. c) Rozwiązanie:
Ćwiczenie 3: Oblicz:
a)
b)
c)
Ad. a) Rozwiązanie:
Ad. b) Rozwiązanie:
Ad. c) Rozwiązanie:
Uwaga: Zauważmy, że dla każdej dodatniej i różnej od 1 liczby rzeczywistej a zachodzi poniższy wzór:
Wzór:
Ćwiczenie 1: Oblicz:
a)
b)
c)
Ad. a) Rozwiązanie:
Ad. b) Rozwiązanie:
Ad. c) Rozwiązanie:
Ćwiczenie 2: Oblicz:
a)
b)
c)
Ad. a) Rozwiązanie:
Ad. b) Rozwiązanie:
Ad. c) Rozwiązanie:
Wzór na zamianę podstawy logarytmów
Wzór:
Ćwiczenie: Oblicz:
a)
b)
c)
d)
Ad. a) Rozwiązanie:
Ad. b) Rozwiązanie:
Ad. c) Rozwiązanie:
Ad. d) Rozwiązanie:
——————
Egzamin maturalny na poziomie podstawowym – wybrane zadania dotyczące logarytmów
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: maja 2021 r.
Źródło: Microsoft Word – 20210309 EMAP_P0_100_A_2105.docx (cke.gov.pl) zadanie 4
Zadanie: Suma jest równa
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Metoda I:
Wykorzystując, definicje logarytmu otrzymujemy:
oraz
więc:
Metoda II:
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: maja 2020 r.
Źródło: Microsoft Word – 20200219_MMA-P1A1P-202 (cke.gov.pl) zadanie 3
Zadanie: Liczba jest równa
A.
B.
C.
D.
Rozwiązanie:
Metoda I:
Wykorzystując, definicje logarytmu otrzymujemy:
więc:
Metoda II:
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: maja 2019 r.
Źródło:Microsoft Word – 20190315 MMA-P1A1P-192 (cke.gov.pl) zadanie 1
Zadanie:
Liczba jest równa
A.
B.
C.
D.
Rozwiązanie:
Metoda I:
Wykorzystując, definicje logarytmu otrzymujemy:
więc:
Metoda II:
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: maja 2018 r.
Źródło:MMA-P1_1P-182.pdf (cke.gov.pl) zadanie 1
Liczba jest równa
A.
B.
C.
D.
Rozwiązanie:
Wykorzystując własności logarytmów otrzymujemy:
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: maja 2017 r.
Źródło:MMA-P1_1P-172.pdf (cke.gov.pl) zadanie 3
Liczba jest równa
A.
B.
C.
D.
Rozwiązanie:
Wykorzystując własności logarytmów otrzymujemy:
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: maja 2016 r.
Źródło:MMA-P1_1P-162.pdf (cke.gov.pl)
Zadanie: Liczba jest równa:
A.
B.
C.
D.
Rozwiązanie:
Metoda I:
Wykorzystując, definicje logarytmu otrzymujemy:
więc:
Metoda II:
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: maja 2015 r.
Źródło: MMA-P1_1P-152.pdf (cke.gov.pl) zadanie 2
Zadanie: Dane są liczby . Iloczyn abc jest równy
A.
B.
C.
D.
Rozwiązanie:
Wyznaczamy b:
Wyznaczamy a:
Wyznaczamy iloczyn:
Egzamin maturalny na poziomie rozszerzonym – wybrane zadania dotyczące logarytmów
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY (DATA: 11 maja 2021 r.)
Źródło:Microsoft Word – EMAP-R0-100-2105.docx (cke.gov.pl) zadanie 6
Zadanie:
Niech . Wykaż, że
Rozwiązanie:
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY (DATA: maja 2019 r)
Źródło: Microsoft Word – 20190307 MMA-R1A1P-192 (cke.gov.pl) zadanie 1
Zadanie
Dla dowolnych liczb x > 0 , x ≠ 1, y > 0, y ≠ 1 wartość wyrażenia jest równa
A.
B.
C.
D.
Rozwiązanie:
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY (DATA: maja 2018 r)
Źródło: MMA-R1_1P-182.pdf (cke.gov.pl) zadanie 3
Zadanie
Wartość wyrażenia jest równa
A.
B.
C.
D.
Rozwiązanie: