Opracowanie:
Logarytmy wzory
Logarytmy wzory
Logarytmy wzory
Aby zająć sie rozwiązywaniem zadań z logarytmami, najpierw trzeba znać definicję logarytmu.
Definicja 1: Logarytmem liczby b przy podstawie a nazywam taka liczbę c, że a podniesione do potęgi c daje liczbę b.
Zatem jeżeli chcę obliczyć wystarczy, że zadam pytanie: do jakiej potęgi należy podnieść liczbę a, aby otrzymać liczbę b.
Przy czym spełnione muszą zostać następujące trzy warunki:
(1) a>0
(2)a nie jest równe 1
(3)b>0
Podam teraz w punktach wzory na obliczanie logarytmów i przykłady zastosowania.
(1)
Wzór ten wynika stąd, że każda liczba, różna od zera podniesiona do potęgi 0 jest równa 1. Można to wytłumaczyć następująco:
przykłady:
, gdyż
, gdyż
(2)
Wynika to z tego, że
(3) =
Pokażę teraz, że ten wzór rzeczywiście jest prawdziwy. Niech , wtedy , czyli ,więc =, a skoro , to . Podsumowując wykazałam, że rzeczywiście .
przykłady:
(4)
Dowód: przyjmuję, że , wówczas skoro , to .
przykłady:
(5)
Dowód: przyjmuję, że . Wówczas i podnoszę obustronnie równość do potęgi n , czyli . Wobec tego I z udowodnionej wcześniej równości wnioskuję, że , czyli , co kończy dowód.
przykłady:
(6)
Dowód: przyjmuję, że oraz , wówczas i , czyli co oznacza, że . Podsumowując , co kończy dowód.
przykładyd:
(7)
Dowód: niech i , wtedy oraz . Podnosząc ostatnią równość stronami do potęgi -1 otrzymuję . Zatem , czyli , co kończy dowód.
(8)
Dowód: niech i , z tego wynika, że oraz . Zatem , czyli trzeba znaleźć taką liczbę, że podniesione do tej potęgi da . Taka liczbą jest , co kończy dowód.
Ale do czego tak naprawdę potrzebne są logarytmy?
Skala Richtera w sejsmologi
Jest to skala określająca wielkość trzęsienia ziemi na podstawie amplitudy drgań wstrząsów sejsmicznych. Wprowadzona przez amerykańskich fizyków w 1935 roku.
amplituda-największe wychylenia z położenia równowagi w ruchach: drgającym i falowym.
Wyraża się ona wzorem , gdzie A to amplituda trzęsienia wyrażona w centymetrach, a = cm jest stałą zwaną stałą wzorcową( gdy w podstawie logarytmu nic niema, to znaczy to, że jest on dziesiętny , czyli ma w podstawie liczbę 10, )
Zadanie 1: W Japonii trzęsienie ziemi miało siłę 7,5 w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi.
Rozwiązanie: , czyli ,dalej przekształcając otrzymuję kolejno =3.5, czyli , więc otrzymuję, że A jest równe około 32 metry.
Zadanie 2: W 2014 roku w Tajlandii trzęsienie ziemi miało siłę 6.2 w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi i rozstrzygnij, czy jest ona większa od 100 centymetrów.
Rozwiązanie:
I przekształcając dalej otrzymuję kolejno:
=6.2-4=2.2, czyli >
Amplituda trzęsienia ziemi w Tajlandii była większa niż 100 centymetrów.
(2) Liczenie pH roztworu wodnego związków chemicznych
Ale czym w ogóle jest pH? Jest to skala zasadowości i kwasowości roztworów wodnych. Wynosi ona od 0 do 14, gdzie wartość 7 uważana jest za obojętną. Odczyn roztworu zależy od stężenia jonów wodorowych. Wyraża się to wzorem: .
Zad: Mam dwa roztwory, pierwszy ma pH=2, a drugi pH=12. W którym stężenie kwasu jest większe i o ile razy?
Rozwiązanie: Wiem, że , więc otrzymuję, że . Zatem , a , czyli =. Podsumowując stężenie kwasu w pierwszym roztworze jest większe o razy.
(3) Obliczanie poziomu natężenia dźwięku
Wszystkie dźwięki które słyszymy są tak naprawdę zmianami ciśnienia powietrza, które dochodzą do naszej błony bębenkowej. Na informacje zostają przekształcane dopiero gdy dojdą do mózgu. Ponieważ nasze uszy działają „nieliniowo”, więc 2 razy większe natężenie dźwięku nie będzie odbierane przez nas jako 2 razy głośniejszy dźwięk. Jeżeli odczuwamy, że coś jest kilka razy głośniejsze niż na początku, to dźwięk ten ma w rzeczywistości energię nawet setki razy większą. Dlatego została wprowadzona wielkość zwana poziomem natężenia dźwięku( jej jednostką są decybele). Wyraża się ona wzorem: , gdzie I-jest natężeniem badanej fali dźwiękowej, a -jest natężeniem progu słyszalności.
Przykłady:
2 krotny wzrost natężeni dźwięku oznacza wzrost poziomu głośności o około 3dB.
1000 krotny wzrost natężenia dźwięku daje wzrost poziomu głośności o około 30dB.
(4) Funkcja logarytmiczna
Funkcją logarytmiczną nazywam funkcję postaci , Przy założeniach, że a>0, a nie jest równe 1 i x>0.
Przykładowymi funkcjami logarytmicznymi są i .
Wykres dowolnej funkcji logarytmicznej zawsze przechodzi przez punkt (1,0).
Własności funkcji logarytmicznej:
Jest różnowartościowa(funkcja, która różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości).
Miejscem zerowym jest liczba x=1
Zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych, a dziedziną zbiór liczb całkowitych dodatnich
Zadania:
1 Wyznacz dziedzinę funkcji
Z założeń wynika, że >0, a ponieważ , więc trzeba wykluczyć przypadek, gdy , czyli gdy x=1. Zatem dziedziną danej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych bez jedynki.
2 Wyznacz dziedzinę funkcji
Z założeń wynika, że >0. Przekształcając wyrażenie >0, uzyskuję kolejno: >0
>0
>0
nierówność ta jest prawdziwa, gdy obydwa nawiasy są dodatnie lub gdy obydwa są ujemne, czyli gdy x>1 lub gdy x<
Wobec tego dziedziną funkcji jest zbiór x(-∞,) (1,∞)
3 Określ dziedzinę funkcji f(x)=
Z założeń: x>0,a>0 i a nie jest równe 1 wynika, że 2x-3>0 oraz >0 i nie jest równe 2 .
Z 2x-3>0 wynika, że x>, czyli (, ∞)
z >0 wynika, że x>1 lub x<-1
A ponieważ nie jest równe 2, więc x nie jest równe i x nie jest równe – .
Podsumowując dostaję, że dziedziną danej funkcji jest zbiór ( , ∞).
4 Dana jest funkcja logarytmiczna I punkt A=(9, -4) należący do jej wykresu. Wyznacz liczbę a
Zauważam, że -4=, czyli korzystając z definicji logarytmu otrzymuję, że . Ponieważ , więc , czyli a jest równe plus lub minus pierwiastkowi czwartego stopnia z .
5 Do wykresu funkcji logarytmicznej Należy punkt M=(4,2).
Ponieważ , więc oznacza to, że a podniesione do potęgi 2 daje 4, z tego wynika, że a=2.
6 Do wykresu funkcji logarytmicznej Należy punkt W=(36, 2).
(a) wyznacz wartość a
i korzystając z definicji logarytmu otrzymuję, że . Ostatnie równanie ma dwa rozwiązania: a =6 lub a=-6. Ponieważ podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią i nie może się równać 1, więc rozwiązanie a=-6 odrzucam. Jedynym rozwiązaniem jest zatem liczba a=6.
(b) wyznacz wartość wyrażenia
Ponieważ , więc i . Korzystając z wzoru Otrzymuję, że . Z własności logarytmów wynika, że , co kończy rozwiązanie zadania.
(c) która z liczb jest większa czy
ponieważ , więc =- i analogicznie (Skorzystałam z następującej własności logarytmów: )
W przypadku funkcji logarytmicznej , gdzie a>1 jest ona rosnąca. Zatem >, czyli mnożąc obustronnie tą nierówność przez -1 otrzymuję, że >, więc >.
7 Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą e taką, że spełniony jest warunek <
W przypadku funkcji logarytmicznej , gdzie 0
Podstawowe wzory wykorzystujące :
1.
wzór ten wynika z tego, że e podniesione do potęgi 1 daje e.
2.
ponieważ liczba e podniesiona do potęgi 0 daje 1.
3.
jeżeli przyjmę, że lnx=y, to wtedy jest z definicji logarytmu równe x.
4.
Przyjmuję, że oraz , wówczas i . Korzystając z definicji logarytmu naturalnego otrzymuję, że , co kończy dowód.
5.
Niech , wówczas , czyli . Z definicji logarytmu wynika więc, że . Podnosząc ostatnią równość do potęgi -1 uzyskuję , co kończy dowód.
6.
Dowód tego wzoru przebiega analogicznie jak w podpunkcie 4.
Kolejnym ciekawym tematem są równania logarytmiczne. Są to takie równania, które posiadają niewiadomą w liczbie logarytmowanie lub w podstawie logarytmu.
Przykład:
Równania te rozwiązuje się zgodnie z definicją logarytmu , przy czym obowiązują 3 założenia: a>0, b>0 i a nie jest równe 1.
Wyznaczanie dziedzin:
1 Oblicz dziedzinę równania logarytmicznego postaci
Sprawdzę dziedzinę zgodnie z trzema założeniami(a>0, b>0 i a nie jest równe 1)
Ponieważ b=32, więc jest większe od zera, czyli nie trzeba robić żadnych dodatkowych założeń. Ponieważ a jest tutaj x+10, więc x+10>0 i x+10 nie jest równe 1. Wobec tego x>-10 i x nie jest równe -9.
2 Wyznacz dziedzinę równania logarytmicznego
Sprawdzę dziedzinę zgodnie z trzema założeniami(a>0, b>0 i a nie jest równe 1)
Ponieważ a =2, więc jest różne od 1 i większe od zera, czyli nie trzeba ru robić żadnego dodatkowego założenia.
W równaniu tym b=x+9, a ponieważ b>0, to x>-9