Logarytmy zadania

Własności logarytmów potrzebne do rozwiązywania zadań:

Logab= c jest zapisem który oznacza to samo co rozwiązanie następującego równania: ac= b

loga xp= p· logax, dla a i x należacych do liczb dodatnich,
a różnego od jednego, zaś
p należącego do liczb rzeczywistych

logab +logac= loga(b·c)
loga1= 0
logaa= 1
logaax= x

Zadanie 1

Liczba log6 9+ 2log6 2 jest równa:

B. 1
C. 2

Rozwiązanie:

Aby „pozbyć się” czynnika 2 korzystamy z własności logarytmów:
loga xp= p· logax
log6 9+ 2log6 2= log6 9+ log6 22
Logarytmy o tej samej podstawie- a=6 cieszą się właściwością, że można pomnożyć przez siebie liczby logarytmowane:
logab +logac= loga (b· c)
log6 9+ log6 22= log6 (9· 22)= log6 (9· 4)= log6 36

Gdy mamy już uproszczone równanie zapisujemy je w postaci: ac= b:
6c=36
Liczba 36 jest kwadratem liczby 36, więc:
6c= 62
c= 2

Odpowiedź: C.

Zadanie 2

Niech log318= c. wtedy log354 jest równy:
A. c- 1
B. c
C. c+ 1
D. c+ 2

Rozwiązanie:
Kluczowym aspektem w rozwiązaniu tego zadania jest zauważenie, że:
54= 18· 3
oraz znajomość właściwości logarytmów:
logab +logac= loga(b· c)
Podstawiamy dane:
log3(18· 3)= log318+ log33
log3(18· 3)= c+ log33
Aby obliczyć log33 należy skorzystać z własności logarytmów:
logaa= 1,

więc:
c+ log33= c+ 1

Odpowiedź: C.

Zadanie 3
Liczba log327+ log31 jest równa:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

Rozwiązanie:
Aby obliczyć tą liczbę możemy skorzystać z dwóch sposobów:

I sposób:
Korzystamy z własności dumy logarytmów o tych samych podstawnikach:
logab +logac= loga(b· c)
log327+ log31= log3(27· 1)= log3(27· 1)= log327
Gdy mamy uproszczony logarytm zamieniemy go na postać ac= b:
3c= 27
3c= 33
c= 3

Odpowiedź: D.

II sposób:
Liczbę tą możemy uznawać za dwa osobne zsumowane logarytmy i policzyć ich wartości, dzięki własnością:
1) liczbę log327 zapisujemy w postaci ac= b,
3c= 27
3c= 33
c= 3
2) przy liczbie log31 korzystamy z własności loga1= 0;
log31= 0
W tym momencie sumujemy oba wyniki:
log327+ log31= 3+ 0= 3

Odpowiedź: D.

Zadanie 4

Suma log816+ 1 jest równa:
A. 3
B.
C. log817
D.

Rozwiązanie:
log816 zapisujemy w postaci ac= b.
8c= 16
Możemy zauważyć ze obie liczby- 8 i 16 są to wielokrotności cyfry 2:
(23)c= 24
23c= 24
3c= 4
c= 4/3
Teraz do obliczonej wartości logarytmu dodajemy 1:
log816 +1= 4/3+ 3/3= 7/3

Odpowiedź: D.

Zadanie 5
Dane są liczby . Liczby te spełniają warunek:
A. a> b> c
B. b> a> c
C. c> b> a
D. b> c> a

Rozwiązanie:
Możemy zauważyć liczby b i c mają ten samą podstawę- 4. Z czego możemy wywnioskować, że:
4b=8 > 4c=
b > c
Odpowiedziami spełniającymi ten warunek są: A i D:
A. a> b> c
B. b> a> c
C. c> b> a
D. b> c> a
Aczkolwiek aby porównać liczbę a do obu odpowiedzi musimy obliczyć wartości także b i c:
4b= 8 4c=
(22)b= 23 (22)c= 2-1
22b= 23 22c= 2-1
2b= 3 2c= -1
b= c= –
Gdy mamy już wartości liczb b i c należy policzyć wartość liczby a:
( )a= 8
2-a= 23
-a= 3
a= -3
Teraz porównujemy liczbę a do liczb a i b:
a= -3 < c= - < b=

Odpowiedź: D.