Logika
Logika to dział matematyki, który na przełomie XIX i XX wieku wyodrębnił się jako osobna dziedzina. Dzięki logice matematycznej możemy w bardzo prosty sposób sprawdzić, czy jakieś zdanie jest prawdziwe czy fałszywe. Jest to bardzo przydatne w informatyce, a dokładniej przy programowaniu np. gier komputerowych.
Najbardziej podstawowymi pojęciem w logice jest zdanie logiczne. Jest to zdanie oznajmujące, które może być albo prawdziwe albo fałszywe, nie ma żadnej innej możliwości. Przykłady zdań logicznych: 1+3=4; 5 jest liczbą parzystą. Oby dwa przykłady to zdania logiczne, jednak „1+3=4” jest prawdziwe, a „5 jest liczbą parzystą” jest fałszywe. W jaki sposób to zapisujemy?
Najpierw należy wspomnieć, że zdania logiczne oznaczamy najczęściej następującymi literami: p, q, r, s, t; natomiast ich wartość (czyli czy są prawdziwe czy fałszywe) zapisujemy w następujący sposób: w(p) <- w nawiasie musi być litera, która oznacza dane zdanie.
Jeśli zdanie jest prawdziwe to w(p)=1,
Jeśli zdanie jest fałszywe to w(p)=0
Przykłady:
p: 1+3=4 w(p)=1 bo jest to prawda, że 1+3=4
r: 5 jest liczbą parzystą w(r)=0 bo 5 nie jest liczbą parzystą
q: 8>3 w(q)=1 bo 8 jest większe od 3
Zaprzeczenie zdania:
Aby zrobić zaprzeczenie zdania wystarczy stworzyć przeciwieństwo zdania. Zapisujemy to w następujący sposób p, oczywiście zamiast p, może być dowolna litera. W takim razie zaprzeczmy naszym przykładowym zdaniom:
p: 1+3≠4 w(p)=0
r: 5 nie jest liczbą parzystą w(r)=1
q: 8≤3 w(q)=0
Ważne! Jeśli wartość jakiegoś zdania p jest równa 1, to wartość zaprzeczenia tego zdania jest równa 0.
Koniunkcja:
koniunkcja są to dwa zdania logiczne połączone spójnikiem „i”, który zapisujemy za pomocą następującego symbolu: . Koniunkcję zdań p i q zapisujemy w następujący sposób .
tabelka logiczna koniunkcji:
p
|
|
q
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
Przykłady:
p:
q:
w(p)=1
w(q)=1
w( )=1 wystarczy spojrzeć na tabelkę, aby określić wartość koniunkcji
r: 2+2=4
s:
w(r)=1
w(s)=0
w( )=0 w tym wypadku również wystarczy tylko spojrzeć na tabelkę powyżej
Alternatywa:
alternatywa są to dwa zdania logiczne połączone spójnikiem „lub”, który zapisujemy za pomocą następującego symbolu: . Alternatywę zdań p i q zapisujemy w następujący sposób
tabelka logiczna alternatywy:
p
|
q
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
Przykłady:
p:
q:
w(p)=1
w(q)=1
w( )=1 wystarczy spojrzeć na tabelkę, aby określić wartość alternatywy
r: 2+2=4
s:
w(r)=1
w(s)=0
w( )=1 w tym wypadku również wystarczy tylko spojrzeć na tabelkę powyżej
Implikacja:
implikacja są to dwa zdania logiczne połączone w następujący sposób jeżeli… to… , co zapisujemy za pomocą następującego symbolu: Implikację zdań p i q zapisujemy w następujący sposób
tabelka logiczna implikacji:
p
|
q
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
Przykłady:
p:
q:
w(p)=1
w(q)=1
w( )=1 wystarczy spojrzeć na tabelkę, aby określić wartość alternatywy
r: 2+2=4
s:
w(r)=1
w(s)=0
w( )=0 w tym wypadku również wystarczy tylko spojrzeć na tabelkę powyżej
Równoważność:
równoważność są to dwa zdania logiczne połączone w następujący sposób …wtedy i tylko wtedy, gdy… , co zapisujemy za pomocą następującego symbolu: Równoważność zdań p i q zapisujemy w następujący sposób p q
tabelka logiczna równoważności:
p
|
q
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
Przykłady:
p:
q:
w(p)=1
w(q)=1
w(p q )=1 wystarczy spojrzeć na tabelkę, aby określić wartość alternatywy
r: 2+2=4
s:
w(r)=1
w(s)=0
w(rs)=0 w tym wypadku również wystarczy tylko spojrzeć na tabelkę powyżej
Mówiąc o logice matematycznej, nie można nie wspomnieć o kilku najważniejszych prawach rachunku zdań są to wyrażenia składające się z zdań logicznych i różnych spójników, które zawsze są prawdziwe, niezależnie od wartości zdań logicznych.
Prawo podwójnego zaprzeczenia wygląda w następujący sposób:
Pierwsze prawo de Morgana wygląda w następujący sposób:
Drugie prawo de Morgana wygląda w następujący sposób:
Prawo zaprzeczenia implikacji:
|
