Logika matematyczna

Logika to jeden z działów matematyki, który na pierwszy rzut oka wydaje się bardzo oczywisty i niekoniecznie każdemu potrzebny. Jednakże dzięki logice wiele nieoczywistych rzeczy staje się oczywistym. Jak pokazuje codzienność, najtrudniej jest zauważyć „oczywistości”. Obracając się w tym dziale posługujemy się zdaniami. One zaś mogą być prawdziwe lub fałszywe w sensie logiki. Dlatego też nie każde zdanie w języku potocznym będzie zdaniem w sensie logiki.

Na początku zadajmy sobie pytanie, czym tak właściwie jest prawda oraz fałsz oraz jak je określamy w logice. W tym dziale matematyki wartość logiczną 1 zyskuje każde zdanie prawdziwe. Oznaczając prawdziwe zdanie możemy użyć arabskiej cyfry 1. Rzadko kiedy używa się oznaczenia za pomocą litery P (z języka polskiego p jak prawda), bądź litery T ( z angielskiego t jak true). Fałsz natomiast jest określany przez wartość logiczną 0, literę F (f jak fałsz oraz f z angielskiego jak false). Mimo to najbardziej powszechne stosowanie jest oznaczeń 0 i 1.
Definicje:
Powyżej opisane działanie logiki nazywa się zerojedynkowym ujęciem rachunku zdań. On zaś jest oparty na dwóch założeniach: ” Każdy funktor jest prawdziwościowy” oraz „Każde zdanie jest bądź prawdziwe bądź fałszywe (zasada dwuwartościowości).
Funktor prawdziwościowy to nic innego jak spójnik zdaniowy, który zachowuje się jak funkcja, to znaczy, że dla danych wartości logicznych zdań łączonych przez ten spójnik (czyli jego argumentów) istnieje dokładnie jedna wartość logiczna zdania przezeń utworzonego;
Funktor prawdziwościowy jest to funktor zdaniotwórczy od jednego, dwóch, lub więcej argumentów zdaniowych taki, że wartość logiczna każdego zdania utworzonego za pomocą tego funktora jest wyznaczona wyłącznie przez wartości logiczne jego argumentów, a nie przez treść tych argumentów.

Każde zdanie oznajmujące, któremu można nadać wartość logiczną prawda (1), fałsz (0) jest zdaniem logicznym. Aby zobaczyć na własne oczy różnice między zdaniami logicznymi prawdziwymi, fałszywymi oraz formami zdaniowymi warto przeanalizować poniższe przykłady.

19-1=3 (0) —> jest to zdanie logiczne, które przyjmuje wartość logiczną 0
7+11=18 (1) —> jest to zdanie logiczne, które przyjmuje wartość logiczną 1
W 1910 roku wybuchła I Wojna Światowa (0) —> jest to zdanie logiczne, które przyjmuje wartość logiczną 0
Zebry są biało-czarne (1) —> jest to zdanie logiczne, które przyjmuje wartość logiczną 1
5+x=7 —> to jest forma zdaniowa, to jest wyrażenie, które nie jest zdanie logiczne
Idź stąd! —> to jest forma zdaniowa, to jest wyrażenie, które nie jest zdanie logiczne
Masz psa? —> to jest forma zdaniowa, to jest wyrażenie, które nie jest zdanie logiczne

Przykłady 1-4 to zdania logiczne pojedyncze. Z ich połączenia mogą powstać zdania złożone logicznie. Tak jak w języku polskim, zdania pojedyncze możemy łączyć za pomocą spójników, np. i, oraz, albo, lub, ale. Przykładami takich zdań mogą być: „Pójdę spać lub oglądać telewizję.”, „Posprzątam pokój, ale nie umyje naczyń.”, „Zajmę się siostrą i pójdę na zakupy.”. W logice matematycznej również używamy spójników. One natomiast nazywają się funktorami logicznymi lub też spójnikami logicznymi.