Macierz jednostkowa

Macierz są to liczby zapisane w prostokątnej tablicy, które są zbudowane z kolumn jak u wierszy, które są różnego wymiaru.
Wyróżniamy kilka rodzajów macierzy. Jedna z nich jest macierz jednostkowa.

Macierz jednostkowa – inne nazwy to macierz tożsamościowa i macierz identycznościowa.

Macierz jednostkowa to tak naprawdę też macierz kwadratowa oraz macierz diagonalna. Jest to jedna z najważniejszych macierzy.

Macierz jednostkowa to taka macierz, która na przekątnej ma same jedynki, a reszta to są same zera.

Przykład:

| 1 0 0 0 |
| 0 1 0 0 |
|0 0 1 0 |
| 0 0 0 1 |

Macierz jednostkowa oznaczamy za pomocą In

n oznaczamy jaki to stopień, wymiar macierzy:
Przykłady :

I1 to macierz jednostkowa stopnia pierwszego

| 1 0 |
| 0 1 |

I2 to macierz jednostkowa stopnia drugiego

| 1 0 0 |
| 0 1 0 |

I I3 to macierz jednostkowa stopnia trzeciego

| 1 0 0 |
| 0 1 0 |
| 0 0 1 |

Wyznacznik macierzy jednostkowej jest równy 1.

Macierz jednostkowa ma zastosowanie w szukaniu macierzy odwrotnej.

Macierz jednostkowa jest obustronnym elementem neutralnym mnożenia macierzy.

Macierz dopełnień algebraicznych oraz macierz dołączona jest równa macierzy jednostkowej.

Macierz jednostkowa przedstawia tożsamościowe odwzorowanie liniowe oraz wersory z bazy standardowej.

Wersor jest ti wektor jednostkowy, który ma długość jeden.

A I = I A = A
Wzór ten oznacza że przemnożenie dowolnej macierzy przez macierz jednostkowa jest równa tej pierwszej macierzy. Jak widać we wzorze kolejność mnożenia nie ma tutaj znaczenia.

Wniosek jest taki że macierz jednostkowa jest tal jak cyfra 1, ponieważ każda macierz przemnożona przez macierz jednostkowa nie zmienia się.

A więc:

I 2 = | 1 0 | i macierz A = | 2 3 |
| 0 1 | | 6 4 |

Mnożąc te macierze otrzymujemy wynik | 2 3 |
| 6 4 |


Mnożąc macierz A przez jej odwrotność otrzymujemy macierz jednostkowa.
Każde pomnożenie dowolnej macierzy przez jej odwrotność daje nam zawsze macierz jednostkowa.