Zacznijmy od zdefiniowania czym jest macierz odwrotna.
Niech będzie macierzą x . Macierzą odwrotną do macierzy nazywamy macierz taką, że: , gdzie to macierz identycznościowa
Macierz identycznościowa (inaczej jednostkowa) to taka, która na przekątnej ma jedynki, a poza przekątną same zera. Przykładowo macierz identycznościowa x to
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Warunki, które muszą być spełnione, żeby istniała macierz odwrotna: 1) Macierz A musi być kwadratowa 2) Wyznacznik macierzy A musi być różny od 0
Przedstawię tylko metody odwracania, które osobiście uważam za najlepsze i tylko takie, z których korzystam.SPOSÓB 1 Metoda ta przydaje się tylko przy obliczaniu macierzy odwrotnej macierzy x
Korzystamy ze wzoru:
Przykład:
Sprawdźmy czy wynik jest prawidłowy poprzez wykonanie działania
. Jeżeli otrzymamy macierz identycznościową to znaczy, że się zgadza.
2
-1
0
1
0 + 1
2 – 2
1
0
1
0
-1
2
0 + 0
1 + 0
0
1
Zatem wynik jest prawidłowy.
SPOSÓB 2 Metoda eliminacji Gaussa-Jordana (moim zdaniem najlepsza metoda do obliczania macierzy większych wymiarów)
Na przykładzie pokażę jak ta metoda działa. Weźmy macierz
6
2
5
-4
0
1
0
1
3
1) Najpierw oczywiście sprawdzamy, czy wyznacznik tej macierzy przypadkiem się nie zeruje. Wyznacznik macierzy x obliczam w taki sposób, że najpierw pierwsze dwa wiersze zapisuję pod macierzą, w ten sposób: 6
2
5
-4
0
1
0
1
3
6
2
5
-4
0
1
Następnie mnożymy ze sobą cyfry po skosie i dodajemy ich iloczyny (dla ułatwienia zaznaczyłam kolorami co trzeba wymnożyć ze sobą). Zatem mamy (6 0 3) (-4 1 5) (0 2 1) …. ale to nie koniec, należy jeszcze odjąć iloczyny cyfr, które zaznaczyłam poniżej 6
-2 nie równa się 0 zatem istnieje macierz odwrotna. Możemy przejść do odwracania macierzy.
2) Zapisujemy obok siebie naszą macierz oraz macierz identycznościową , oddzielając je kreską w taki sposób [ | ]. Spróbuję odwzorować ten zapis przy pomocy tabelki. 6
2
5
1
0
0
-4
0
1
0
1
0
0
1
3
0
0
1
3) Będziemy teraz wykonywać operacje elementarne na wierszach całej powstałej macierzy, takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie oraz dzielenie. UWAGA! Nie wolno wykonywać operacji na kolumnach! Chcemy doprowadzić do sytuacji [ | ], czyli takiej gdzie przed kreską będzie macierz identycznościowa. Operacje jakie będziemy wykonywać będą w dużej mierze zależały od samej macierzy. Spróbuję opisać szczegółowo czym się kieruję wybierając konkretną operację. Będziemy używać oznaczeń W1,W2,W3 (wiersz pierwszy, wiersz drugi, wiersz trzeci) 6
2
5
1
0
0
-4
0
1
0
1
0
0
1
3
0
0
1
Zacznę od działania W1 + W2 , ponieważ dzięki temu zmniejszę cyfrę 6. Otrzymamy: 2
2
6
1
1
0
-4
0
1
0
1
0
0
1
3
0
0
1
Zauważmy, że drugi wiersz pozostał bez zmian. Następnie zauważam, że mogę podzielić W1 : 2 co da mi: 1
1
3
0
-4
0
1
0
1
0
0
1
3
0
0
1
I popatrzmy, że jeżeli teraz zrobimy W1-W3 to pierwszy wiersz będzie już gotowy! 1
0
0
-1
-4
0
1
0
1
0
0
1
3
0
0
1
Spójrzmy zatem na wiersz drugi. Zauważam, że wystarczy dodać do W2 4 razy W1 i wtedy drugi wiersz także będzie gotowy. 1
0
0
-1
0
0
1
2
3
-4
0
1
3
0
0
1
I teraz został nam do 'naprawienia’ trzeci wiersz. Działanie W1-3W2 rozwiąże 'problem’. 1
0
0
-1
0
0
1
2
3
-4
0
1
0
-6
-9
13
Zatem mamy już w każdym wierszu jedną 1 i dwa 0. Pozostało tylko ułożyć wiersze w odpowiedniej kolejności, aby otrzymać macierz identycznościową. Zatem W2 W3 1
0
0
-1
0
1
0
-6
-9
13
0
0
1
2
3
-4
Doprowadziliśmy więc do sytuacji [ | ] Zatem macierz odwrotna do macierzy A to
-1
-6
-9
13
2
3
-4
Zwróć uwagę, że przy wykonywaniu operacji zajmowaliśmy się jedynie macierzą 'przed kreską’, a szukana macierz odwrotna 'sama’ się ułożyła.
Spróbuj sam odwrócić macierz -6
1
-3
1
0
1
2
0
1
Powyższe zadanie zostało zweryfikowane przez nauczyciela
