Macierze
pojęcie kolumny i wiersza oraz jak je numerować
rodzaje macierzy
wektor
oznaczanie macierzy
indeksowanie macierzy
ogólna postać macierzy
zastosowania macierzy
transpozycja macierzy
dodawanie macierzy
odejmowanie macierzy (macierz przeciwna)
macierz jednostkowa
macierz diagonalna
macierz zerowa
mnożenie macierzy
Możemy potocznie powiedzieć, że macierz jest tabelką, w której zapisane są liczby (oczywiście nie tylko, macierz może składać się również z funkcji, jednak skupimy się na ten moment na liczbach). Macierz możemy rozpatrywać nad ciałem liczb rzeczywistych, wymiernych, naturalnych, zespolonych itd. Liczby te ułożone są w wiersze i kolumny.
Przykładowo:
|
|
pierwsza kolumna
|
druga kolumna
|
trzecia kolumna
|
czwarta kolumna
|
pierwszy wiersz
|
1
|
0
|
2
|
3
|
drugi wiersz
|
5
|
1
|
0
|
-1
|
trzeci wiersz
|
6
|
3
|
-2
|
4
|
czwarty wiersz
|
8
|
1
|
3
|
1
|
Jak możemy zauważyć przykładowa macierz ma 4 wiersze i 3 kolumny. Dlatego powiemy, że jest ona wymiaru x .
Macierze mogą mieć każdą kombinację ilości wierszy i kolumn ( x , x , x , x )
Wiersze numerujemy od góry, a kolumny od lewej strony.
Macierze mogą być kwadratowe (jeżeli liczba kolumna równa jest liczbie wierszy) lub prostokątne (w pozostałych przypadkach).
Jeżeli macierz jest kwadratowa to mówimy w skrócie, że jest stopnia … np. o macierzy 3 x 3 powiemy, ze jest stopnia trzeciego.
Macierz może być także stopnia pierwszego (1 x 1).
Macierz, która ma 1 wiersz lub 1 kolumnę nazywamy
wektorem poziomym (gdy ma jeden wiersz) lub pionowym (gdy ma jedną kolumnę)
Oznaczenia macierzy.
Macierze oznaczamy przez wielkie litery alfabetu (A, B, C, D, … , M, …)
Indeksowanie macierzy. Weźmy macierz:
|
A=
|
1
|
2
|
5
|
0
|
1
|
9
|
3
|
-2
|
4
|
Przykładowo cyfra 9 to element a23, ponieważ znajduje się w drugim wierszu i trzeciej kolumnie.
a32=-2
Macierz można zapisać
wzorem ogólnym:
|
A=
|
|
|
|
|
|
= [] i = 1,…,n ; j = 1,…,m
|
| |||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zastosowania macierzy to m. in. obliczanie układów równań, ale macierze mają wiele innych zastosowań.
np. w analizie matematycznej to znajdywania ekstremów funkcji.
Transpozycja macierzy polega na zamianie wierszy z kolumnami. A mianowicie:
|
|
1
|
2
|
|
|
1
|
3
|
5
|
3
|
4
|
2
|
4
|
6
|
5
|
6
|
Dodawanie macierzy. Aby macierze można było dodać muszą być one takiego samego wymiaru, ponieważ dodawanie macierzy to nic innego jak dodawanie elementów o tych samych indeksach (współrzędnych). A mianowicie:
A=
|
6
|
3
|
-4
|
1
|
0
|
-2
|
B=
|
-3
|
1
|
3
|
2
|
4
|
0
|
A + B =
|
6 + (-3)
|
3 + 1
|
-4 + 3
|
=
|
3
|
4
|
-1
|
1 + 2
|
0 + 4
|
-2 + 0
|
3
|
4
|
-2
|
Odejmowanie macierzy to nic innego jak dodawanie macierzy przeciwnej (zmieniamy wszystkie liczby w macierzy na liczby przeciwne). Na tym samym przykładzie.
A=
|
6
|
3
|
-4
|
1
|
0
|
-2
|
-B=
|
3
|
-1
|
-3
|
-2
|
-4
|
0
|
A-B=
|
6 + (3)
|
3 + (-1)
|
-4 + (-3)
|
=
|
9
|
2
|
-7
|
1 + (-2)
|
0 + (-4)
|
-2 + 0
|
-1
|
-4
|
-2
|
Uwaga! Do macierzy nie można dodać liczby!
Macierz jednostkowa to macierz kwadratowa, która na głównej przekątnej ma same jedynki, a poza główną przekątną są same zera. Przykładowo:
Macierz jednostkowa 3 x 3
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
Macierz diagonalna tak samo jak macierz jednostkowa jest kwadratowa i poza główną przekątną ma same zera, natomiast na głównej przekątnej ma jakieś liczby.
Macierz zerowa, zwykle kwadratowa macierz, w której znajdują się same zera.
Mnożenie macierzy przez liczbę. Przykładowo 5 A polega na pomnożeniu każdej liczby w macierzy przez 5.
A=
|
6
|
3
|
-4
|
1
|
0
|
-2
|
5 A=
|
30
|
15
|
-20
|
5
|
0
|
-10
|
Mnożenie macierzy NIE jest przemienne. Macierze możemy pomnożyć jeśli liczba kolumn w pierwszej macierzy równa jest liczbie wierszy w drugiej macierzy.Przykładowo:
A=
|
6
|
3
|
1
|
0
|
B=
|
-3
|
1
|
3
|
2
|
4
|
0
|
Zapisujemy macierze w taki sposób jak poniżej, w przypadku A B =
|
|
-3
|
1
|
3
|
|
| |||
|
2
|
4
|
0
|
6
|
3
|
(-3) 6 + 2 3
|
1 6 + 4 3
|
3 6 + 0 3
|
=
|
-12
|
18
|
18
|
1
|
0
|
-3 1 + 2 0
|
1 1 + 4 0
|
3 1 + 0 0
|
-3
|
1
|
3
|
Ostatecznie:
A B=
|
-12
|
18
|
18
|
-3
|
1
|
3
|
natomiast B A nie można wykonać, bo w macierzy B mamy 3 kolumny, a w macierzy A mamy 2 wiersze. 3 nie jest równe 2 zatem nie można wykonać takiego mnożenia.
|
