Opracowanie:
Mediana
Mediana
Mediana
W swojej pracy chciałabym skupić się na tym czym jest mediana, jak ją obliczyć. Dla utrwalenia wiedzy przedstawienie kilka zadań.
Mediana – to wartość liczby środkowych , które są uszeregowane rosnąco.
Aby obliczyć medianę , należy w początkowo ustawić liczby w kolejności rosnącej . Więc jak mamy liczby np:
1 , 1, 5, 2, 5, 3 ,7
to musimy je ustawić w kolejności rosnącej , czyli 1 , 1 ,2 , 3 , 5, 5, 7 . Teraz wybieramy liczbę środkową . W tym przypadku mamy nieparzystą ilość liczb . Więc musimy skreślać liczby raz z prawej , raz z lewej strony .
I w ten sposób dochodzimy do środkowej liczby , czyli mediany .
W tym przypadku mieliśmy nieparzystą ilość liczb i trudno było wyznaczyć medianę . Co jednak należy zrobić jak mamy parzystą ilość liczb ?
4 , 4 , 6, 7 , 1 , 2
Na początku musimy ustawić liczby znajdujące się w danym zbiorze lub w szeregu w kolejności rosnącej . Kolejno należy skreślić liczby raz z prawej strony i lewej strony. To powielamy ,aż dojdziemy do środka . Gdy w środku dwie liczby , musimy je dodać do siebie , a następnie podzielić przez dwa . Zawsze tak wykonujemy kiedy zbiór liczb jest parzysty . To znaczy , gdy w zbiorze występują na przykład : 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 itd….
W tym wypadku musimy skorzystać z średniej arytmetycznej , co oznacza ,że jest to suma liczb podzielona przez ich ilość .Na przykład : Średnia z liczb :
4 , 4 , 6, 7 , 1 , 2
To: 4 + 4 + 6 + 7 + 1 + 2 = 24
24 : 6 = 4
Średnia tego szeregu liczb wynosi 4 .
Aby zrozumieć to pojęcie przedstawię kilka zadań.
Zadanie 1
Klasa VI pisała sprawdzian z matematyki. Oto wyniki jakie otrzymali poszczególni uczniowie:
5, 3, 4, 2, 3, 3, 5, 5, 5, 4, 5
Polecenie:
Podaj wartość i interpretacje mediany.
Zacznijmy od tego, że
1 uczeń otrzymał ocenę- 5
2 uczeń otrzymał ocenę- 3
3 uczeń otrzymał ocenę- 4
4 uczeń otrzymał ocenę- 2
5 uczeń otrzymał ocenę- 3
6 uczeń otrzymał ocenę- 3
7 uczeń otrzymał ocenę- 5
8 uczeń otrzymał ocenę- 5
9 uczeń otrzymał ocenę- 5
10 uczeń otrzymał ocenę- 4
11 uczeń otrzymał ocenę- 5
Następnie musimy ustawić oceny uczniów w kolejności rosnącej ( czyli od najniższej oceny do nawyższej oceny).
Mój szereg wygląda to tak:
2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, – razem 11 ocen.
Musimy teraz znaleźć ucznia który stoi pośrodku.
Możemy skorzystać z wzoru
poz Me=
pozMe- pozycja Mediany
n- liczebność naszej zbiorowości ( w tym zadaniu są to uczniowie), zatem n=11
Korzystając ze wzoru podstawiamy nasze dane
poz Me= = =6
Pozycja Mediany równa jest 6.
Teraz szukamy naszego ucznia, który stoi na 6 miejscu.
2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5
Jak widzimy uczeń stojący pośrodku szeregu otrzymał ocenę 4. Jego ocena to wartość szukanej mediany. Zapiszmy na koniec , że Me= 4
Teraz spróbujmy zinterpretować ten wynik:
50% uczniów otrzymało ocenę 4 lub mniej ( świadczą o tym liczby znajdujące się z lewej strony szeregu)
pozostałe 50 % uczniów otrzymało ocenę 4 lub więcej ( świadczą o tym liczby znajdujące sie z prawej strony szeregu)
Zadanie 2
Policz średnią arytmetyczną liczb :
a) 2 , 6 , 4 , 4 , 8 , 10 , 2
b) 12, 8 , 2, 4 , 4 , 14 , 8
c) 2 , 2 ,8 , 16 , 2 , 4 , 6
Zacznijmy od przypomnienia jak obliczyć średnią arytmetyczną :
Aby obliczyć średnią arytmetyczna ,należy dodać do siebie wszystkie liczby , a następnie podzielić przez dwa.
Rozwiązanie :
a) 2 , 6 , 4 , 4 , 8 , 10 , 2
Na początku musimy wszystkie liczby ułożyć od najmniejszej do największej. Wygląda to w ten sposób :
2 , 2 , 4 , 4 , 6 , 8 , 10
Teraz musimy dodać te wszystkie liczby do siebie :
2 + 2 + 4 + 4 + 6 + 8 + 10 = 36
następnym krokiem , który trzeba wykonać to trzydzieści sześć podzielić na ilość liczb . W tym przypadku przez siedem.
36 : 7 = 5,14285714……
Odpowiedź : Średnia arytmetyczna liczb : 2 , 2 , 4 , 4 , 6 , 8 , 10 wynosi 5,14285714…..
b) 12, 8 , 2, 4 , 4 , 14 , 8
Tak jak w powyższym przykładzie należy ułożyć liczby rosnąco , czyli od najmniejszej do największej .
2 , 4 , 4, 8 ,8 , 12 , 16
Teraz musimy dodać te wszystkie liczby do siebie :
2 + 4 + 4 + 8 + 8 + 12 + 16 = 54
Następnym krokiem , który trzeba wykonać to pięćdziesiąt cztery podzielić na ilość liczb . W tym przypadku przez siedem.
54 : 7 = 7 , 714285714…..
Odpowiedź : Średnia arytmetyczna liczb 2 , 4 , 4, 8 ,8 , 12 , 16 wynosi 7,71428714….
c) 2 , 2 ,8 , 16 , , 4 , 6
Ostatni przykład robimy tak samo jak pozostałe , czyli na początku musimy ustawić liczby w kolejności rosnącej . Oznacza to ,żre układamy liczby od najmniejszej do największej .
2 , , 2 , 4 , 6 , 8 , 16
Następnie , aby obliczy średnią arytmetyczną , należy dodać do siebie wszystkie podane nam liczby .
2 + 2 + 4 + 6 + 8 + 16 = 40
W ostatnim kroku , należy podzielić czterdzieści prze ilość liczb . W tym przypadku przez sześć.
40 : 6 = 6,666666666……
Odpowiedź : Średnia arytmetyczna liczb 2 , , 2 , 4 , 6 , 8 , 16 wynosi 6 , 666666…
Zadanie 3
Oblicz średnią arytmetyczną liczb 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 4, 8,
Rozwiązanie :
Na początku tego zadania należy dodać do siebie wszystkie liczby :
1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 8 = 21
Na wstępie należny podzielić liczbę dwadzieścia jeden przez ilość liczb . W tym przypadku przez siedem.
20 : 7 = 3
Odpowiedź : Średnia arytmetyczna liczb 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 4, 8, wynosi trzy ( 3).
Zadanie 4
Oblicz medianę :
a) 1, 5, 6, 8, 9 ,2, ,5 ,3, 7, 3, ,5
b) 1 , 3, 2, 4, 2,, 3 5, 5, 6,
c) 4, 5 , 7, ,7, 1, 2, 3
Rozwiązanie :
a) 1, 5, 6, 8, 9 ,2, ,5 ,3, 7, 3, ,5
Na początku musimy ustawić liczby w kolejności rosnącej , czyli od najmniejszej do największej .
1, , 2 , 3 , 3, 5 , 5 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9
Teraz trzeba skreślić liczby raz z prawej , a raz z lewej strony :
Medianą tych liczb jest liczba 5 . 
b) 1 , 3, 2, 4, 2,, 3 5, 5, 6,
Na początku musimy ustawić liczby w kolejności rosnącej , czyli od najmniejszej do największej .
1 , 2 ,2 , 3, ,3 , 4 , 5 ,5 ,6
W tym przykładzie należny zrobić tak samo jak w pierwszym .Teraz trzeba skreślić liczby raz z prawej , a raz z lewej strony :
Medianą tych liczb jest liczba 3 .
c) 4, 5 , 7, ,7, 1, 2, 3
Na początku musimy ustawić liczby w kolejności rosnącej , czyli od najmniejszej do największej .
1, 2 ,3, 4, 5, 7 ,7,
W tym przykładzie należny zrobić tak samo jak w pierwszym i drugim .Teraz trzeba skreślić liczby raz z prawej , a raz z lewej strony :
Medianą tego zbioru jest liczba 4 .
Zadanie 5
Oblicz medianę liczb :
a) 1 , -4 , 7 , 6 , 2
b ) 7 , 8 , 2 , 4 , 5
c) 3 , 5 , 8 , 1 , 5
Rozwiązania :
a) 1 , -4 , 7 , 6 , 2
Na początku musimy liczby ustawić w kolejności rosnącej .
-4 , 1 , 2 , 6 , 7
Teraz skreślamy raz z prawej ,a raz z lewej strony
-4 , 1 , 2 , 6 , 7
Mediana tego zbioru jest liczba 2
b ) 7 , 8 , 2 , 4 , 5
Na początku musimy liczby ustawić w kolejności rosnącej , czyli od najmniejszej do największej .
2 , 4 , 5 , 7 , 8
Tak jak w przykładzie a , należy skreślić liczby raz z prawej , a raz z lewej strony .
2 , 4 , 5 , 7 , 8
Medianą tego zbioru jest liczba 5.
c) 3 , 5 , 8 , 1 , 5
Na początku musimy liczby ustawić w kolejności rosnącej , czyli od najmniejszej do największej .
1 , 3 , 5 , 5 , 8
Tak jak w przykładzie a i b , należy skreślić liczby raz z prawej , a raz z lewej strony .
1 , 3 , 5 , 5 , 8
Medianą tego zbioru jest liczba 5 .
Zadanie 6
Mediana danych 0, 1 , 1 , 2 , 3 , 1 jest równa ?
A ) 1,5
B) 1
C) 3,4
D) 2,5
Rozwiązanie :
Przypomnienie:
Mediana to wartość liczb środkowych , które są ułożone rosnąco .
Jeśli ilość liczb jest parzysta to dodajemy je , a później dzielimy przez dwa.
Aby rozwiązać te zadanie należy ustawić liczby w kolejności rosnącej , Czyli od najmniejszej do największej .
0, 1 , 1 , 1 , 2 , 3
Gdy już mamy ustawione liczby ,należy je skreślać raz z prawej , a raz z lewej strony .
0, 1 , 1 , 1 , 2 , 3
Jeśli liczbami środkowymi są dwie liczby ,należy dodać je do siebie i podzielić przez ich ilość , czyli przez dwa .
1 + 1 = 2
2 : 2 = 1
Teraz możemy zaznaczyć prawidłową odpowiedź z A , B , C , D.
A ) 1,5
B) 1
C) 3,4
D) 2,5
Zadnie 7
Ile wynosi mediana ? Wyniki z sprawdzianu z matematyki są przedstawione w tabeli .
Ocena