Metoda eliminacji Gaussa Metoda Gaussa przydaje się m. in. do obliczania: > układów równań > rzędu macierzy > wyznacznika macierzy > macierzy odwrotnej
Pokażę jak uprościć układ równań metodą Gaussa. Mamy dany układ równań:
KROK 1. Zapisujemy nasz układ równań w postaci takiej jak poniżej. A mianowicie, w pierwszą kolumnę wpisujemy współczynniki kierunkowe , w drugą kolumnę współczynniki kierunkowe , w trzecią kolumnę współczynniki kierunkowe , a w ostatniej kolumnie będą znajdować się wyniki z naszego układu. Tak jak poniżej.
1
-3
2
3
1
1
-2
1
2
-1
1
-1
KROK 2. Będziemy wykonywać operacje elementarne na wierszach, takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Chcemy doprowadzić do postaci schodkowej macierzy. Co to jest postać schodkowa macierzy? Potocznie mówiąc macierz schodkowa to taka, w której pod 'przekątną ’ znajdują się same zera’. Przykład macierzy schodkowej 4 x 4: 2
3
1
0
0
4
-2
2
0
0
1
-1
0
0
0
3
Postaram się opisać czym kieruję się w wyborze kolejnych przejść. Rozpoczniemy od wyzerowania wartości . W tym celu od wiersza drugiego odejmiemy wiersz pierwszy. 1
-3
2
3
otrzymamy
1
-3
2
3
1 – 1
1 – (-3)
-2 – 2
1 – 3
0
4
-4
-2
2
-1
1
-1
2
-1
1
-1
Następnie wyzerujemy wartość . Od wiersza trzeciego odejmiemy wiersz pierwszy pomnożony przez 2. 1
-3
2
3
otrzymamy
1
-3
2
3
0
4
-4
-2
0
4
-4
-2
2 – 2 1
-1 – 2 (-3)
1 – 2 2
-1 – 2 3
0
5
-3
-7
Następnie podzielimy wiersz drugi przez 4 1
-3
2
3
otrzymamy
1
-3
2
3
0
4 : 4
-4 : 4
-2 : 4
0
1
-1
–
0
5
-3
-7
0
5
-3
-7
Teraz pozostało nam wyzerować wartość . W tym celu od wiersza trzeciego odejmiemy wiersz drugi pomnożony przez 5. 1
-3
2
3
otrzymamy
1
-3
2
3
0
1
-1
–
0
1
-1
–
0
5 – 5 1
-3 – 5 (-1)
-7 – 5 (–)
0
0
2
-4
Tym sposobem uprościliśmy układ równań, który teraz wygląda następująco:
KROK 3. Wyliczenie układu równań normalną metodą.
Ostatecznie:
Powyższe zadanie zostało zweryfikowane przez nauczyciela
