Metoda wyznaczników

Metoda wyznaczników :

Obliczanie wyznaczników dla macierzy kwadratowej:

A = | a11 a 12 |
| a21 a22 |

aby obliczyć wyznacznik macierzy kwadratowej należy pomnożyć na krzyż i odjąć od siebie :

Czyli a11 a22 – a21 a 12

Przykłady:

A = | 1 2 | = 1 4 – 2 3 = 4 – 6 = -2
| 3 4 |

A = | 2 3 | = 2 (-4) – 3 (-1) =
| -1 -4 |
= -8 + 3 = -5

Do obliczania wyznaczników stopnia trzeciego użyjemy metody SARRUSA.

Opiera się na wzorze:

| a11 a12 a13 |
| a21 a22 a23|
| a31 a32 a33|
——————–
a 11 a12 a12
a21 a22 a23

Aby obliczyć wyznacznik trzeciego stopnia również mnożymy na krzyż i odejmujemy w obie strony, podpisujemy również dwa pierwsze wiersze aby ułatwić sobie liczenia, według wzoru:

= a11 a22 a33 +a 21 a32 a13 +
a 31 a12 a23 -a13 a22 a31 – a23
a32 a11 – a 33 a12 a21

Przyklad:

| 3 2 -1 |
| 1 -1 3 | = 3 (-1) 1 + (-1)+24-4-9-2
| 4 1 1 |
= -3-1+20-11= 9-4 = 5

Wyznaczniki stopnia wyższego obliczamy stosując metodę Laplace . najczęściej poprzedzona metodą elementarnych operacji na wierszach lub kolumnach.
Elementarne operacje na wierszach i kolumnach zachowujące wartości wyznacznika :
1. do dowolnego wiersza możemy dodać dowolny inny wiersz pomnożony przez dowolną liczbę,
2. do dowolnej kolumny możemy dodać dowolną inną kolumnę pomnożona przez dowolną liczbę :

Przykład :
| 1 1 2 -1 |
| 2 -1 3 1 |
| 3 2 -1 2 |
| 6 2 4 2 |

Aby obliczyć, pierwszy wiersz mnożymy przez -2 i dodajemy do drugiego wiersza, pierwszy wiersz mnożymy przez -3 i dodajemy do trzeciego wiersza, pierwszy wiersz mnożymy przez -6 i dodajemy do czwartego wiersza :

| 1 1 2 -1 |
| 0 -3 -1 3 | =
| 0 -1 -7 5 |
| 0 -4 -8 8|

1 (-1) 2 = | -3 -1 3 |
| -1 -7 5 |
| -4 -8 8|
———–
-3 -1 3
-1 -7 5
= 168 +24+20-84-120-8=
212-212= 0

| 1 -1 2 1 |
| 2 1 -1 2 | (-2)
| 3 -1 2 -1| (-3)
| 4 2 1 1 | (-4)

| 1 -1 2 1 |
| 0 3 -5 0 |
| 0 2 -4 -4 | =
| 0 6 -7 -3 |
1 (-1)2 = | 3 -5 0 |
| 2 -4 -4|
| 6 -7 -3 | =
———–
3 -5 0
2 -4 -4
= 36 +0+ 120 – 0 -84-30= 156-114
= 42

| 0 6 -7 -3 |