Miary kątów

Miary kątów
1. Zacznę od tego co to jest kąt. Kąt jest obszarem powstałym przez poprowadzenie dwóch półprostych o wspólnym początku. Te dwie półproste nazywamy ramionami kąta, natomiast ich wspólny początek nazywa się wierzchołkiem kąta. Potocznie kątem nazywa się jego miarę.
2. Miara kąta to wielkość kąta wyrażona w odpowiednich jednostkach. W matematyce najczęściej używa się miary łukowej kąta. Jest to długość łuku okręgu wyciętego przez dany kąt z okręgu o promieniu równym 1 i środku w wierzchołku kąta.
Miarę łukową kąta wyraża się liczbą bez podanej jednostki i przyjmuje wartości z zakresu od 0 do 2π. Jednostkę miary łukowej kąta nazywamy radianem(symbol: rad).
π to liczba pi, która jest niewymierna i wynosi w przybliżeniu 3,14. Jest ona równa stosunkowi obwodu koła do długości jego średnicy. Jest również nazywana stałą Archimedesa, ponieważ jest niezależna od wyboru koła. Dzieje się tak dlatego, że każde dwa koła są podobne, czyli jedno z nich jest dokładną, pomniejszoną lub powiększoną wersją drugiego koła.
3. W życiu codziennym najczęściej używa się miary stopniowej. W tej mierze kąt pełny wynosi 360 stopni kątowych(symbol °), każdy stopień kątowy dzieli się na 60 minut kątowych(symbol ’), a każda minuta kątowa dzieli się na 60 sekund kątowych(symbol „).
4. W praktyce militarnej i geodezyjnej stosuje się również podział kąta pełnego na 400 gradów lub gradusów(symbol g), każdy gradus dzieli się na 100 centygradów(symbol c), a każdy centygrad dzieli się na 100 myriogradów(symbol cc). Te przedrostki nawiązują do jednostek długości: metra, centymetra i milimetra. Miara gradowa kąta ułatwia pisemne dodawanie i odejmowanie, ponieważ nie trzeba przeliczać na 60 i 90 jednostek.
5. Kąty dzielą się ze względu na ich miarę na:
a) kąt zerowy, którego ramiona się pokrywają wynosi 0°, 0 radianów lub 0 gradów;
b) kąty wypukłe, są to kąty większe od 0° i mniejsze niż 180°/większe od 0 i mniejsze niż π rad/większe od 0 i mniejsze niż 200g;
– kąt ostry, jest to kąt mniejszy od kąta prostego, lecz większy od kąta zerowego;
– kąt prosty, którego ramiona są do siebie prostopadłe wynosi 90°, π rad lub 100g, jest on połową kąta półpełnego;
– kąt rozwarty, to kąt mierzący więcej niż kąt prosty i mniej niż kąt półpełny;
c) kąt półpełny, którego ramiona tworzą jedną prostą wynosi 180°, π rad albo 200g, jest on połową kąta pełnego;

d) kąty wklęsłe, są to kąty, które są większe od kąta półpełnego i mniejsze niż kąt pełny;
e) kąt pełny, którego ramiona się pokrywają wynosi 360°, 2π rad lub 400g.

6. Szczególne pary kątów:
– kąty przyległe to takie kąty a i B, że tworzą one kąt półpełny. Wtedy można obliczyć długość jednego kąta odejmując długość drugiego z nich od 180°:
– kąty odpowiadające, to dwa kąty leżące pod jedną prostą. Mają one równe miary:

– kąty wierzchołkowe, to dwa kąty leżące naprzeciwko siebie przy jednym wierzchołku, przez co są sobie równe:

przykład 1
Oblicz miary kątów a i b opisanych na rysunku.
Rozwiązanie:
Wiemy, że kąt 100° i kąt b są kątami przyległymi.
Obliczamy kąt b:
180° – 100° = 80°
b = 80°
Wiemy również, że kąt a z kątem 100° jest kątem wierzchołkowym, czyli są one równe:
a = 100°
odp. Kąt a wynosi 100°, natomiast kąt b jest równy 80°.