Miejsce zerowe

Miejsce zerowe funkcji to liczba ( nazywana argumentem ), dla której wartość równania funkcji wynosi zero.

Dla ułatwienia zdefiniowania tematu w opracowaniu przyjęto oznaczenia i nazewnictwo:

x – argument funkcji
y = f(x) – wartość funkcji dla danego x

Na przykład:

funkcja podana wzorem

f(x) = 2x-4

będzie miała miejsce zerowe dla argumentu 2, ponieważ f(2) = 2*2-4 . To jest przykład, który pokazuje nam miejsce zerowe funkcji liniowej. Może się zdarzyć tak, że taka funkcja nie będzie miała miejsc zerowych, co może oznaczać, że:

1) funkcja ma stałą wartość i jej wykresem jest linia równoległa do osi x np. y =5
2) funkcja jest złożeniem kilku funkcji i żadna z nich nie posiada miejsca zerowego
3) funkcja podana jest tabelką i żaden z argumentów nie przyjmuje wartości 0

Kolejną funkcją z miejscem zerowym jest funkcja kwadratowa i w jej przypadku możemy mieć do czynienia, aż z dwoma miejscami zerowymi nazywanymi pierwiastkami.

Kiedy równanie jest prostej postaci na przykład:

f(x) = x2 – 49

to od razu wiemy, że rozwiązaniem będzie 7 lub (-7), ponieważ obie te liczby podniesione do kwadratu dadzą 49. Gorzej jeśli równanie będzie miało postać na przykład:

f(x) = x2+4x+3
Wtedy już trzeba zastosować tzw. deltę i na jej podstawie obliczyć miejsca zerowe. Na początku zróbmy to na ogólnej definicji funkcji kwadratowej:

a – współczynnik przy x2
b – współczynnik przy x
c – wyraz wolny

wzór naszej funkcji dla tych oznaczeń będzie miał postać f(x) = ax2+bx+c . Korzystając z opisu miejsca zerowego Nasze równanie będzie miało postać:
ax2+bx+c = 0
Teraz mamy wzór delty:

Δ = b2 – 4*a*c

Na tej podstawie możemy obliczyć pierwiastki (miejsca zerowe) x1 i x2 [jako, że edytor wzorów nie posiada dużej litery greckiej delta we wzorze zostanie zastąpiony małą literą czyli Δ = δ].

W praktyce dla Naszego przykładu:

a=1 , b=4 , c=3

Δ = 42-4*1*3 = 4

Warto wiedzieć też, że po wartości obliczonej delty możemy wiedzieć ile będzie miało rozwiązań nasze równanie:

delta ujemna ( Δ < 0) - brak rozwiązań
delta równa 0 ( Δ = 0) – jedno rozwiązanie
delta większa od 0 – dwa rozwiązania obliczane jak podano powyżej

Możemy też spotkać się z funkcjami, których stopień będzie wyższy niż 2, nazywamy je wtedy wielomianami i oznaczamy W(x). W przypadku szukania miejsc zerowych takich funkcji musimy szukać ich powiązania z wzorami skróconego mnożenia lub znaleźć jedno z miejsc zerowych przez próby podstawienia do równania. Mając jedno miejsce zerowe możemy skorzystać z twierdzenia Bezout i szukać kolejnych rozwiązań. Na tej podstawie możemy uprościć nasz wielomian tworząc z niego iloczyn dwóch funkcji i wtedy ich miejsca zerowe to miejsca zerowe wielomianu.