Miejsce zerowe funkcji

Widzimy, że dla argumentu -8 funkcja przyjmuje wartość 0, czyli miejscem zerowym tej funkcji jest -8.
Zobaczmy jak to wygląda na wykresie:

Na powyższej ilustracji widać, że wykres funkcji przecina oś x w punkcie (-8, 0).

Miejsce zerowe funkcji liniowej
Ile funkcja liniowa może mieć miejsc zerowych?
Funkcja liniowa ma:
-jedno miejsce zerowe, gdy a ≠ 0
-zero miejsc zerowych, gdy /0
-nieskończenie miejsc zerowych, gdy y = 0

Jeżeli chcemy obliczyć miejsce zerowe funkcji liniowej bez konieczności szkicowania wykresu to możemy to zrobić na dwa sposoby.

I sposób:
Pierwszym sposobem na obliczanie miejsca zerowego funkcji liniowej jest przyrównywanie wzoru funkcji do zera, czyli we wzorze funkcji za f(x) stawiamy 0 i obliczamy ile wynosi x. Miejscem zerowym funkcji będzie x.

Przykład:
Oblicz miejsce zerowe funkcji .

Do obliczenia miejsca zerowego funkcji tym sposobem za f(x) stawiamy 0 i obliczamy x.

|+2

|:2

Miejscem zerowym tej funkcji jest 1.

II sposób:
Drugim sposobem na obliczanie miejsca zerowego funkcji liniowej jest podstawianie do wzoru.
Wzór na miejsce zerowe funkcji liniowej to , dla a ≠ 0.

Przykład:
Oblicz miejsce zerowe funkcji .

Przypominam wzór ogólny funkcji liniowej to , czyli w naszym wzorze funkcji a = 4, b = -6. Podstawiamy dane do wzoru.

Funkcja posiada jedno miejsce zerowe, tym miejscem zerowym jest .

Miejsce zerowe funkcji kwadratowej
Jeżeli chcemy obliczyć miejsca zerowe funkcji kwadratowej to najpierw musimy określić ile dana funkcja posiada miejsc zerowych. W tym celu obliczamy Δ (deltę). Wzór na deltę to . Wiedząc ile wynosi Δ możemy obliczyć miejsca zerowe podstawiając do wzoru.

Jeżeli Δ < 0 to funkcja kwadratowa nie posiada miejsc zerowych.

Jeżeli Δ = 0 to funkcja kwadratowa ma 1 miejsce zerowe. Możemy to miejsce zerowe obliczyć za pomocą wzoru
.

Jeżeli Δ > 0 to funkcja kwadratowa ma 2 miejsca zerowe. Obliczamy je za pomocą wzorów:
i .

Przykład:
Oblicz miejsca zerowe funkcji

Wzór ogólny funkcji kwadratowej to .
Zatem współczynniki podanego w zadaniu wzoru funkcji kwadratowej to: a = 2, b = 3, c = -2.
Teraz możemy obliczyć Δ.

Δ > 0, czyli podana funkcja kwadratowa posiada 2 miejsca zerowe. Obliczmy je.

Odp. Funkcja posiada dwa miejsca zerowe, są to -2 oraz .

Miejsce zerowe funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej
Jeżeli funkcja kwadratowa jest zapisana w postaci iloczynowej to jej miejsca zerowe możemy odczytać ze wzoru.
Wzór ogólny funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej to: . Miejscami zerowymi funkcji zapisanej w taki sposób są oraz . Należy zauważyć, że przed oraz jest „minus”. Jeżeli we wzorze funkcji przed miejscem zerowym będzie „plus” to miejsce zerowe jest mniejsze od zera.

Przykład:
Wyznacz miejsca zerowe funkcji .

Wiemy już, że wzór ogólny funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej to .

Miejscami zerowymi tej funkcji są 7 oraz -2.

Funkcja kwadratowa a wzory Vietea
Dzięki zastosowaniu wzorów Vietea możemy określić znaki miejsc zerowych funkcji kwadratowej.

– wzór ogólny funkcji kwadratowej
a ≠ 0 Δ > 0

a) , są tego samego znaku > 0

tak jest, ponieważ jeżeli mnożymy przez siebie liczbę ujemną przez ujemną albo liczbę dodatnią przez dodatnią to zawsze otrzymujemy liczbę, która jest większa od 0.

b) , nie są tego samego znaku < 0 tak jest, ponieważ jeżeli podczas mnożenia dwóch miejsc zerowych otrzymamy liczbę ujemną to zawsze jedno z miejsc zerowych jest dodatnie, a drugie ujemne.

) oba miejsca zerowe są dodatnie

> 0 > 0

> 0 > 0

w podanym przypadku miejsca zerowe nie mogą być jednocześnie ujemne, ponieważ po dodaniu do siebie miejsc zerowych otrzymamy liczbę dodatnią, czyli oba miejsca zerowe są dodatnie.

) oba miejsca zerowe są ujemne

> 0 > 0

< 0 < 0 w podanym przykładzie miejsca zerowe nie są równocześnie dodatnie, ponieważ suma dwóch dodatnich składników jest dodatnia, a nie ujemna.

Miejsce zerowe funkcji wykładniczej
Wzór ogólny funkcji wykładniczej to , , /1.
Funkcja wykładnicza nie posiada miejsc zerowych, ponieważ nie ma takiego x, dla którego funkcja przyjmowała wartość 0.

Miejsce zerowe funkcji logarytmicznej
Wzór ogólny funkcji logarytmicznej to , gdzie a > 0, a ≠ 0, x > 0.
Wykres funkcji logarytmicznej przecina zawsze oś OX w punkcie (1, 0). Zatem miejscem zerowym funkcji logarytmicznej zawsze jest 1.

ZADANIA

ZADANIE 1
Wyznacz miejsce zerowe funkcji liniowej . Zadanie rozwiąż dwoma sposobami.

Widzimy, że w podanym wzorze funkcji a ≠ 0 , czyli funkcja liniowa posiada jedno miejsce zerowe.

I sposób:

Wskazówka: Pierwszym sposobem na obliczanie miejsca zerowego podanej funkcji jest przyrównywanie wzoru funkcji do zera, czyli za f(x) stawiamy 0 i obliczamy x. Znalezione x jest miejscem zerowym funkcji.

|-2
|:4

II sposób:

Wskazówka: Drugi sposób polega na podstawieniu współczynników funkcji liniowej do wzoru na miejsce zerowe.
Wzór na miejsce zerowe funkcji liniowej to: . Współczynnikami podanej funkcji to a = 4 i b = 2.

Odp. Miejscem zerowym funkcji liniowej jest .

ZADANIE 2
Wyznacz miejsce/miejsca zerowe funkcji kwadratowej . Następnie zapisz wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej.

Określmy najpierw ile dana funkcja kwadratowa posiada miejsc zerowych, więc policzmy Δ.

Δ wynosi 9, czyli Δ > 0, więc funkcja posiada dwa miejsca zerowe. Obliczmy je.

Miejscami zerowymi tej funkcji są -2 i 1.

Skoro mamy już wyliczone miejsca zerowe podanej funkcji to możemy przejść do zapisania tego wzoru funkcji w postaci iloczynowej.

– zapis wzoru ogólnego funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej

– zapis postaci iloczynowej podanej funkcji

Odp. Miejscami zerowymi podanej funkcji są -2 oraz 1, a zapis funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej to:
.