Miejsce zerowe funkcji kwadratowej

1.Obliczanie miejsc zerowych funkcji kwadratowej (miejsc przecięcia wykresu z osią OX) polega na obliczaniu pierwiastków równania.
2.Równanie kwadratowe ax2+bx+c ma:
-> 2 pierwiastki gdy >0,
wtedy x1 = , a x2 =
-> 1 pierwiastek, gdy = 0,
wtedy x =
-> 0 pierwiastków, gdy <0 Przykład 1:
Wyznacz miejsca zerowe funkcji y(x)=(x+1)2-3 i zaznacz je na osi liczbowej.
Krok 1:
Zapisz w postaci ogólnej (ax2+bx+c):
y(x) = (x2+2x+1)-3 = x2+2x-2
Krok 2: Oblicz wyróżnik trójmianu kwadratowego ().
= b2-4 a c
= 4-4 1 (-2) = 12
Krok 3: Jeśli delta jest większa lub równa 0 to oblicz miejsca zerowe korzystając ze wzorów (pkt.2)
= 2
x1 = = -1-
x2 = -1 +
Krok 4: Zaznacz na osi liczbowej miejsca zerowe (x1 -2,73, x2 0,73)

Przykład 2 – CKE, matura sierpień 2019,
Równanie x(5x+1)=5x+1 ma dokładnie … rozwiązań.
Krok 1:
Doprowadź do prostszej postaci
x(5x+1) – 1(5x+1) = 0
(5x+1) (x-1) = 0
Krok 2:
Wyrażenie jest równe zero wtedy i tylko wtedy, gdy :
5x+1 = 0 lub x-1 = 0
Krok 3:
Rozwiązanie dwóch równań liniowych:
x = -0,2 lub x = 1 => Podane równanie ma dokładnie 2 rozwiązania: Zr = {-0,2;1}

Przykład 3:
Wyznacz miejsca zerowe funkcji f(x) = x2-81.
Krok 1:
Tutaj łatwiejsze od liczenia delty jest zastosowanie wzoru skróconego mnożenia:
f(x) = x2-81 = (x-9)(x+9)
(x-9)(x+9) = 0
Miejsca zerowe to 9 oraz -9.

Przykład 4:
Wyznacz p, dla którego funkcja f(x) = x2+(p-1)x +p ma dokładnie dwa miejsca zerowe.
Krok 1:
Funkcja ma dokładnie dwa miejsca zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy >0.
W tym trójmianie kwadratowym:
a=1
b=p-1
c= p,
więc = (p-1)2-4 1 p = p2-2p +1 -4p = p2-6p + 1.
Krok 2:
Kiedy więc jest większa od 0?
Podstawiamy :
p2-6p +1 >0
I liczymy kolejną deltę:
=36-4 = 32

Krok 3:
Teraz wystarczy tylko rozwiązać nierówność i odczytać rozwiązanie:
p1= = 3 + 2
p2 = = 3 – 2
P> 0, parabola ma ramiona zwrócone ku górze, więc p (-, 3 – 2 ) u ( 3 + 2 , +) -> Czyli funkcja ma dokładnie dwa miejsca zerowe wtedy, gdy p należy do podanego przedziału.