Minor

Minor to zagadnienie, które jest powiązane z macierzami. Aby opanować temat minorów, należy poznać dobrze działania na macierzach oraz należy nabyć umiejętność obliczania wyznaczników macierzy.

Rozpocznę od przedstawienia teorii. Minor jest to wyznacznik macierzy kwadratowej. Macierz ta powstaje poprzez wykreślenie minimum jednego wiersza lub minimum jednej kolumny. Oczywiście można skreślić również kilka wierszy lub kilka kolumn.

Niech dana będzie macierz:
A =

Przypomnę czym są wiersze, a czym kolumny w macierzy:

Możemy więc zapisać indeksy kolejnych wierszy oraz kolumn na podstawie naszej macierzy.

Możemy wykreślić wiersz 2.

Po wykreśleniu drugiego wiersza powstaje nam minor macierzy A:
AM =
Obliczmy wyznacznik AM.
Oczywiście można skorzystać z dowolnego sposobu. Natomiast moim ulubionym sposobem jest metoda Sarrusa, która działa tylko na macierze o wymiarach 3 x 3.

W tym celu należy dopisać dwie pierwsze kolumny do macierzy w następujący sposób:

det(AM) =
Następnie wymnażamy wyrazy w macierzy zaznaczone zielonymi kolorami, sumujemy te iloczyny. Odejmujemy iloczyny wyrazów zaznaczonych na czerwono.

det(AM) = = =

Szczególnym przypadkiem minoru jest minor główny. Jest to minor, w którym zostały wiersze i kolumny o dokładnie tych samych indeksach.
Sprawdźmy więc, czy nasz minor był minorem głównym:

Pozostały nam kolumny o indeksach 1, 2, 3 oraz wiersze o indeksach 1, 3, 4. Możemy zapisać to w następujący sposób. Niech W oznacza liczbę wierszy, a K liczbę kolumn.
W = {1, 3, 4}
K = {1, 2, 3}
Korzystając z informacji o minorze głównym, możemy stwierdzić, że powstały minor nie jest minorem głównym.

Przykłady minorów głównych na podstawie naszej przykładowej macierzy:
a) Wykreślenie 4 wiersza:

W wyniku otrzymamy:
W = {1, 2, 3}
K = {1, 2, 3}
Otrzymaliśmy identyczne indeksy kolumn oraz wierszy, dlatego jest to minor główny.

b) Wykreślenie 4 wiersza, 2 wiersza oraz 2 kolumny:

Otrzymujemy w ten sposób kolumny oraz wiersze o następujących indeksach:

W = {1, 3}
K = {1, 3}
Możemy stwierdzić, że jest to minor główny.

Kolejnym szczególnym przypadkiem minorów jest wiodący minor główny, który powstaje poprzez skreślenie ostatnich wierszy lub kolumn.
Przykłady wiodących minorów głównych:
a) Wykreślenie 4 oraz 3 wiersza oraz 3 kolumny.

Powstaje wiodący minor główny.

b) Wykreślenie 2, 3, 4 wiersza oraz 2 oraz 3 kolumny. Również powstaje minor główny.

Zastosowanie minorów macierzy. Jednym z najpopularniejszych zastosowań jest metoda Laplace’a do obliczania wyznaczników. Przedstawię tą metodę na przykładzie naszej macierzy:
A =
Zastosujemy rozwinięcie względem 3 kolumny.

0 (-1)3+1 + 4 (-1)3+2 + 0 (-1)3+3 =
= =

Najlepiej rozwijać względem wiersza lub kolumny, w której są 0, wtedy mamy bardzo ułatwioną sprawę.
Skąd się bierze (-1)3+1? Wykreślamy wiersz oraz kolumnę, z której bierzemy naszą liczbę. Wzięliśmy pierwsze 0, dlatego mamy 3+1, ponieważ jest to 3 kolumna oraz 1 wiersz. Powstają nam minory po wykreśleniu tych wierszy oraz kolumn.