Mnożenie macierzy

Macierzą rzeczywistą o m- wierszach i n- kolumnach nazywamy odwzorowanie zbioru {1,2,3….,m} x {1,2,3……,n} w zbiór liczb rzeczywistych R.

Zatem każdej parze liczb N (i,j) gdzie i należy {1,2,3,……,m} a j należy { 1,2,3,….,n} została przyporządkowana liczba aij należąca do R.
Macierze oznaczamy dużymi literami i przedstawiamy w postaci tablic.

Rodzaje macierzy:

1. Jeśli m jest różne od n to mamy do czynienia z macierzą prostokątną
A= [aij]mxn
m x n to wymiar macierzy

2. Jeśli m = n to mamy do czynienia z macierzą kwadratową
A= [aij]n
n – stopień macierzy

3. Macierz, której wszystkie elementy są równe zero, nazywamy macierzą zerową 0.

4. Macierze kwadratowe n ≥ 2 w których wszystkie elementy
aij= 0 dla i < j lub i > j nazywamy macierzami trójkątnymi.

5. Macierz diagonalna – macierz, w której wyrazy leżące poza główną przekątną są zerami
np :
| 1 0 0 |
| 0 2 0 |
| 0 0 3 |

Mnożyć macierze możemy kiedy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B.

Niech A = [aij]mxn B = [bij]pxn
wtedy
A B = C = [aij ] mxn

Przykład mnożenia macierzy:

| -1 3 -1 | | 0 -1 | | -10+3 (-1)-1 2
| 0 -2 1 | | -1 4 | = | 00-2 (-1)+1 2
| 2 1 0 | | 2 3 | | 20 +1 (-1)+0 2

-1 (-1)+3 4-1 3 | | -5 10|
0 (-1)-2 4+1 3 | = | 4 -5 |
2 (-1)+1 4+0 3| | -1 2 |

Mnożąc macierze, w tym przykładzie, po prostu mnożymy każdy wiersz pierwszej macierzy przez obie kolumny z drugiej macierzy.

A= | 3 2| B = | 1 4|
| 1 7 | | 2 3|

| 3 2 | | 1 4 | = | 3 1 + 2 2
| 1 7 | | 2 3 | | 1 1 + 7 2

3 4 + 2 3 | = | 7 18 |
1 4 + 7 3 | | 15 25|

Rozwiązaniem jest | 7 18 |
| 15 25|

| 2 1 | | 3 1 | = | 2 3 + 1 2
| 5 3 | | 2 2| | 5 3+ 3 2

2 1+ 1 2 | = | 8 4 |
5 1+3 2 | | 21 11 |

Rozwiązaniem jest | 8 4 |
| 21 11|

| 4 | | 2 | = | 4 2 | = | 8 |
| 2 | | 2 2 | | 4 |

Rozwiązaniem jest | 8 |
| 4 |

| 3 | |3| = | 3 3 | = | 9 |
| 2| |2 3 | | 6 |

Rozwiązaniem jest | 9 |
| 6 |

| 2 | | 6 | = | 2 6 | = | 12 |
| 1 | |1 6 | | 6 |

Rozwiązaniem jest | 12 |
| 6 |

| 2 | | 3 2 | = | 2 3 2 2| =
| 1 | | 1 3 1 2|

= | 6 4 |
| 3 2 |

Rozwiązaniem jest | 6 4|
| 3 2|

| 2| | 10| = | 2 10 |= |20|
| 8| | 8 10 | | 80|

Rozwiązaniem jest | 20|
| 80|

| 2 5 1 | | 1 2 1 | | 2 1+5 2+1 3
| 1 3 4 | | 2 2 1 | = | 1 1+ 3 2+43
| 3 1 2 | | 3 1 2 | | 3 1+ 1 2+2 3
| 2 1 1 | | 2 1+ 1 2+1 3

2 2+5 2+ 1 1 2 1+5 1+1 2|
1 2+ 3 2+ 4 1 1 1+3 1+4 2| =
3 2+ 1 2+ 2 1 3 1+1 1+2 2|
2 2+ 1 2+ 1 1 2 1+1 1+1 2|

| 15 15 9 |
| 19 12 12 | –> rozwiązanie
| 11 10 8 |
| 7 7 5 |

| 3 2 (-1) | | 2 3 | = |32+23+(-1) 1
| 1 2 (-3) | | 3 2 | |12+23+(-3) 1
| 3 2 1 | | 1 1 | |3 2+ 2 3+ 1 1

3 3+ 2 2+(-1) 1 | | 11 12 |
1 3 +2 2+(-3) 1 |= | 5 4 |
3 3 + 2 2 + 1 1 | | 13 14 |

| 2 1 3 | | 2 2 |
| 1 2 4 | | 2 3 | –> rozwiązanie
| 2 5 1 | | 1 1 |

Transportowanie macierzy to operacja polegająca na zamianie jej kolumn na wiersze i na odwrót.
| 2 |
np: | 3 | = | 2 3 4 |
| 4 |

Mnożenie macierzy możemy sobie uprościć stosując tzw metodę Falka

Przykład:
| 3 0 | | 2 -1 |
| 5 7 | | 0 3 |
| 1 -2|

Mnożenie jest możliwe bo liczba kolumn macierzy jest taka sama jak liczba wierszy macierzy drugiej. Powstanie nam macierz wymiary 3 x 2.

Mnożenie metodą Falka:
'| 2 -1
| 0 3
—————-
3 0 | 6 -3
5 7 | 10 16
1 -2 | 2 -7

Obliczamy :
3 2+ 0 0= 6
3 (-1)+0 3= -3
5 2+7 0= 10
5 (-1) +7 3= 16
1 2+(-2) 0= 2
1 (-1) -2 3 = -7

Własności macierzy:

( A+B)= A + B
( A B ) = ( A) B
(A B) C = A C + B C
A E = E A = A
(A + B )T= AT + BT

Uwaga !
A B to nie to samo co B A, nie jest przemienne .

Oblicz:
| -1 0 2 |2. | 2 | | 2 |T
| -1 0 3 | -3 | -1 | | 0 | + 2
| 1 2 -2 | | 0 | | -3 |

| 4 -2 -4 | | -1 0 2 | | -1 0 2 |
| -5 1 6 | = | -1 0 2 | | -1 0 2 |
| 2 0 -3 | | -1 0 2 | | -1 0 2 |

| 2 | | 8 -4 -8 |
-3 | -1 | | 2 0 -3 | + | -10 2 12| =
| 0 | | 4 0 -6 |

| 1+0+2 0+0+4 -2+0-4 |
| 1+0+3 0+0+6 -2+0-6|
| -1-2-2 0+0 -4 2+6+4|

| 4 0 -6 | | 8 -4 -8 |
-3 | -2 0 3 | + | -10 2 10| =
| 0 0 0 | | 4 0 -6 |

| 3 4 -6 | | -12 0 18 |
| 4 6 -8 | + | 6 0 -9 | +
| -5 -4 12| | 0 0 0 |

| 8 -4 -8 | | -1 0 6 |
| -10 2 10| = | 0 8 -7 |
| 4 0 -6 | | -1 -4 6 |

| 3 5 7 | | 1 2 | | 3 1+5 1+7 3
| 2 5 2 | | 1 1 | = | 2 1+5 1+2 3
| 2 1 1 | | 3 2| | 2 1 + 1 1+ 1 3

3 2 + 5 1+ 7 2 | | 29 25 |
2 2+ 5 1 + 2 2 | = | 13 13 |
2 2 + 1 1 + 1 2 | | 6 7 |

| 2 | |4 |
| 3 | | 2 | = |6 |
| 1 | | 2 |

| 2 1 | | 2 3 | = | 22 + 1
| 2 3| | 1 2 | | 2 2+ 3

6 + 2|= | 5 7 |
6+6 | | 7 12 |