Moduł liczby zespolonej

Liczby zespolone wprowadzane są zazwyczaj na studiach. Zbiór liczb zespolonych wyróżnia się faktem, że można wyciągać w nim pierwiastki z ujemnych liczb. Przed wprowadzeniem zagadnienia modułu liczby zespolonej napiszę ogólne informacje o liczbach zespolonych, żeby pomóc zrozumieć moduły.
Liczbę zespoloną zazwyczaj oznaczamy za pomocą symboli:

gdzie a to część rzeczywista, natomiast b to część urojona. i jest jednostką urojoną.

Przykłady:
5 + 2i
5 to część rzeczywista, 2 to część urojona

3 – i
3 to część rzeczywista, -1 to część urojona

10i
10 to część urojona. Jest to wyjątkowa liczba zespolona, ponieważ składa się tylko z części urojonej.

10
10 to część rzeczywista. Również jest to wyjątkowa liczba zespolona, ponieważ składa się tylko z części rzeczywistej. W tym momencie może nas zastanawiać, skąd wiadomo, czy to liczba zespolona, czy rzeczywista. Odpowiedź jest prosta, każda liczba rzeczywista będzie również liczbą zespoloną.

Moduł liczby zespolonej
Moduł oznaczamy za pomocą dwóch pionowych kresek.
|z| =

Czyli najpierw podnosimy część rzeczywistą do kwadratu, część urojoną do kwadratu, dodajemy je do siebie i wyciągamy pierwiastek.

Przykłady:
Oblicz moduł liczby zespolonej.
a) z = 8 + 6i
|z| =

b) z = 10 + 1i
|z| =

c) z = 2 + 2i
|z| =

d) z = 5i
W takim przypadku zapisujemy, że część rzeczywista jest równa zero i również korzystamy z tego samego wzoru.
|z| =

e) z = 5i2 + 2i
W takim przypadku musimy wykorzystać informację, że i2 = -1. Dlatego musimy uprościć naszą liczbę zespoloną.
5i2 + 2i = 5 (-1) + 2i = -5 + 2i
Następnie możemy podstawić dane do wzoru na moduł.
|z| =

f) z = i2 – i
Znowu zamieniamy i2 na -1.
z = -1 – i
W tym przypadku część rzeczywista to -1, natomiast część urojona to -1.
|z| =

Moduł liczby zespolonej możemy oznaczyć na rysunku. Moduł liczby zespolonej można interpretować jako odległość od zera na osi liczbowej do tej liczby zespolonej.