Monotoniczność ciągu

Ciąg – jest to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych dodatnich. Ciąg zapisujemy w postaci wzoru ogólnego lub rekurencji.

Ciąg jest monotoniczny jeśli jest:

a) rosnący – jeśli dowolny wyraz tego ciągu jest większy od wyrazu który go poprzedza.

b) malejący – jeśli dowolny wyraz tego ciągu jest mniejszy od wyrazu, który go poprzedza.

c) stały – jeśli dowolny wyraz tego ciągu jest taki sam jak wyraz, który go poprzedza.

Warunki na sprawdzanie monotoniczności:

an – an-1 > 0 – ciąg rosnący
an – an-1 < 0 - ciąg malejący
an – an-1 = 0 – ciąg stały

Przykład 1.
Sprawdź czy ciąg o wzorze ogólnym an = n2-n-2 jest ciągiem malejącym, rosnącym lub stałym.

Wzór ogólny wzoru:
an = n2 – n – 2

Na początek musimy obliczyć wyraz poprzedzający ten ciąg. Aby to zrobić musimy w miejsce n wstawić wyrażenie n-1.

an-1 = (n-1)2 – (n-1) – 2 = n2 – 2n + 1 – n + 1 – 2 = n2 – 3n

Następnie musimy od wyrazu tego ciągu an odjąć wyraz, który go poprzedza an-1

an – an-1 = n2 – n – 2 – n2 + 3n = 2n – 2
n – jest liczbą naturalną większą od 0

dla n = 1
2n – 2 = 0 – równe 0

dla n = 2
2n – 2 = 2 – większe niż 0

Odpowiedź: Ciąg (an) nie jest monotoniczny.

Przykład 2.
Sprawdź czy ciąg o wzorze ogólnym an = jest ciągiem malejącym, rosnącym lub stałym.

Wzór ogólny ciągu:

Obliczanie wyrazu poprzedzającego ten ciąg:

Od wyrazu tego ciągu an odjęcie wyrazu, który go poprzedza an-1

< 0 (wynik jest ujemny, dlatego ciąg jest malejący) Odpowiedź: Ciąg (an) jest malejący.

Przykład 3.
Sprawdź czy ciąg o wzorze ogólnym an jest ciągiem malejącym, rosnącym lub stałym.

Wzór ogólny ciągu:

Obliczanie wyrazu poprzedzającego ten ciąg:

Od wyrazu tego ciągu an odjęcie wyrazu, który go poprzedza an-1

> 0 (wynik jest dodatni, n jest różne od 1, dlatego ciąg jest rosnący)

Odpowiedź: Ciąg an jest rosnący.