Monotoniczność funkcji

Monotoniczność funkcji występuje wtedy gdy funkcja jest malejąca, rosnąca lub stała. Występuje również funkcja niemalejąca oraz nierosnąca.

Funkcja f(x) jest malejąca w swojej dziedzinie jeżeli wraz ze wzrostem argumentów maleje jej wartość (wykres tej funkcji od lewej do prawej spada na dół).

Funkcja jest malejąca wtedy i tylko wtedy gdy x1 i x2 należy do dziedziny funkcji.
x1 ,x2 Df
oraz gdy zachodzi warunek:
x2 > x1 f(x2) < f(x1)

Przykład funkcji malejącej został przedstawiony na poniższym rysunku:

Każda funkcja malejąca jest jednocześnie funkcją nierosnącą.
Funkcja f jest funkcją nierosnącą jeśli spełnia następujący warunek:
x1 < x2 f(x1) f(x2)

Funkcja f jest rosnąca w swojej dziedzinie jeżeli wraz ze wzrostem argumentów rosną jej wartości (wykres tej funkcji od lewej do prawej wznosi się do góry).

Funkcja jest rosnąca wtedy i tylko wtedy gdy x1 i x2 należy do dziedziny funkcji.
x1 , x2 Df
oraz gdy zachodzi warunek:
x2 > x1 f(x2) > f(x1)

Przykład funkcji rosnącej został przedstawiony na poniższym rysunku:

Każda funkcja rosnąca jest jednocześnie funkcją niemalejąca.
Funkcja f jest funkcją niemalejącą jeśli spełnia następujący warunek:
x1 < x2 f(x1) f(x2)

Funkcja f jest stała w swojej dziedzinie gdy przyjmuje dla każdego argumentu x taką samą wartość.
(wykres tej funkcji jest linią prostą, poziomą, jest równoległy do osi X)

Funkcja jest stała wtedy i tylko wtedy gdy x1 i x2 należy do dziedziny funkcji.
x1 , x2 Df
oraz gdy spełnia warunek:
x1 = x2 f(x1) = f(x2)

Funkcja, która jest jednocześnie niemalejąca i nierosnąca jest funkcją stałą.

Przykład funkcji stałej został przedstawiony na poniższym rysunku:

Funkcja niemonotoniczna – to funkcja, która raz rośnie, a raz maleje. Żeby była monotoniczna to musi cały czas rosnąć, cały czas maleć, albo cały czas być stała. Monotoniczna jest również wtedy gdy cały czas raz rośnie raz jest stała czyli jest funkcją niemalejącą oraz gdy cały czas raz maleje raz jest stała czyli jest funkcją nierosnącą.

Z takiej funkcji możemy odczytać przedziały, w których funkcja ta jest rosnąca, malejąca lub stała.

Przykład funkcji niemonotonicznej został przedstawiony na poniższym rysunku:

Kółko, które jest niezamalowane (puste w środku) oznacza,że ten punkt nie należy do wykresu funkcji, natomiast gdy kółko jest zamalowane oznacza, że ten punkt należy do wyktesu funkcji.

Gdy kółko jest puste używamy wtedy okrągłego nawiasu np. (3,7), natomiast gdy kółko jest zamalowane wtedy używamy trójkątnego nawiasu np. <-4,5>.

Funkcje niemuszą być ciągłe. Ważne jest to, żeby spełniały odpowiedni warunek.

Jeżeli mamy wykres danej funkcji to łatwo możemy ustalić czy dana funkcja jest malejąca, rosnąca czy stała.

Gdy niemamy wykresu tylko wzór funkcji możemy ustalić monotoniczność za pomocą dwóch metod:
1. Stosując odpowiedni warunek: x2 > x1
jeżeli f(x2) – f(x1) > 0 jest rosnąca
jeżeli f(x2) – f(x1) < 0 jest malejąca

Przykład 1.
Dana jest funkcja f(x) = 4x – 10. Sprawdź czy jest to funkcja malejąca, rosnąca czy stała.

Zakładamy, że:
x2 > x1
x2 – x1 > 0

Badamy znak:
f(x2) – f(x1) = 4x2 – 10 – (4x2 – 10) = 4x2 – 10 – 4x2 + 10 = 4x2 – 4x1 = 4(x 2– x1) > 0 funkcja jest rosnąca, ponieważ wyrażenie 4(x2 – x1) jest większe od 0.

Przykład 2.
Dana jest funkcja f(x) = -3x – 2. Sprawdź czy jest to funkcja malejąca, rosnąca czy stała.

Zakładamy,że:
x2 > x1
x2 – x1 > 0
x1 – x2 < 0 Badamy znak:
f(x2) – f(x1) = -3x2 – 2 – (-3x1 – 2) = -3x2 + 3x1 = 3(x1 – x2) < 0 funkcja jest malejąca, ponieważ wyrażenie 3(x1 – x2) jest mniejsze od 0.

2. Wyznaczając pochodną (jest to metoda o wiele szybsza i prostsza)
f'(x) – pochodna
Jeżeli f'(x) > 0 funkcja rosnąca
Jeżeli f'(x) < 0 funkcja malejąca

Przykład 1.
Dana jest funkcja f(x) = 2x – 8 Sprawdź za pomocą pochodnej czy jest to funkcja malejąca, rosnąca czy stała.

Obliczanie pochodnej:
f'(x) = 2 > 0 funkcja jest rosnąca, ponieważ 2 jest większe od 0.

Przykład 2.
Dana jest funkcja f(x) = . Sprawdź za pomocą pochodnej czy jest to funkcja malejąca, rosnąca czy stała.

Wyznaczanie dziedziny funkcji (czyli znalezienie argumentów dla jakich ta funkcja istnieje)

x + 2 ≠ 0
x ≠ (-2)
Df {-2}
Dziedzina funkcji jest różna od (-2).

Obliczanie pochodnej:
f'(x) = = =

f'(x) > 0 x2 + 4x + 3 > 0
Delta: 16 – 4 1 3 = 4
x1 =

x2 =

f'(x) > 0 dla x (-∞,-3) (-1,+∞)
f'(x) < 0 dla x (-3,-1)

Odp:
Funkcja jest rosnąca w przedziale: (-∞,-3>,
Funkcja jest rosnąca w przedziale: (-1, +∞),
Funkcja jest malejąca w przedziale: <-3,-1> {-2}.

Przykład 3.
Sprawdź czy funkcja f(x) = x3 + 6x2 + 9x – 2 jest funkcją rosnącą, malejącą czy stałą.

Wyznaczanie dziedziny:
Df R

Obliczanie pochodnej:
f'(x) = 3x2 + 12x + 9
f'(x) > 0
3x2 + 12x + 9 > 0
Delta: 144 – 4 3 9 = 36
x1 =
x2 = =

f'(x) > 0 dla x (-∞, -3) (-1,+∞)
f'(x) < 0 dla x (-3,-1)

Odp:
Funkcja jest rosnąca w przedziale: (-∞, -3>
Funkcja jest rosnąca w przedziale: (-1,+∞)
Funkcja jest malejąca w przedziale: (-3,-1)

W przypadku funkcji liniowej w postaci kierunkowej odrazu możemy zbadać współczynnik kierunkowy. Jeżeli funkcja liniowa ma współczynnik kierunkowy dodatni to jest to funkcja rosnąca. Gdy ma współczynnik kierunkowy ujemny to jest to funkcja malejąca.

Przykład.1
f(x) = 4x – 16 – funkcja liniowa
Z łatwością możemy odczytać, że jest to funkcja rosnąca, ponieważ ma współczynnik kierunkowy dodatni.

Przykład.2
f(x) = -3x + 24 – funkcja liniowa
Z łatwością możemy odczytać, że jest to funkcja malejąca, ponieważ ma współczynnik kierunkowy ujemny.

Oto kilka przykładowych zadań z zastostowaniem monotoniczności funkcji.

Zadanie 1.
Na rysunku została przedstawiona funkcja. Określ jej monotoniczność w poszczególnych przedziałach.

funkcja jest malejąca w przedziale: x <-7,-3>, <-4,-6>

funkcja jest rosnąca w przedziale x <-3,2>

funkcja jest stała w przedziale x <2,4>

Zadanie 2.
Na rysunku została przedstawiona funkcja. Określ jej monotoniczność w poszczególnych przedziałach.

funkcja jest rosnąca w przedziale: x (-6,-3>

funkcja jest stała w przedziale: x <-3,4>

funkcja jest malejąca w przedziale: x <4,6) Zadanie 3.
Na rysunku została przedstawiona funkcja. Określ jej monotoniczność w poszczególnych przedziałach.

funkcja jest malejąca w przedziale: x (2,6>

funkcja jest rosnąca w przedziale: x (-6,3>

funkcja jest stała w przedziale: x (-3,2>

Zadanie 4.
Dana jest funkcja f(x). Narysuj jej wykres, a następnie odczytaj przedziały monotoniczności.

f(x) = -4, jeśli x (-∞,-2>
f(x) = -x, jeśli x (-2,3>
f(x) = -1, jeśli x (3,+∞)

Rysując wykres tej funkcji musimy wziąść pod uwagę dziedzinę funkcji do której należy oraz zwrócić uwagę na nawiasy czy są one otwarte czy zamknięte. Jeżeli są otwarte to znaczy, że dany punkt nie należy do wykresu.

Wykres tej funkcji będzie wyglądał następująco:

funkcja jest stała w przedziałach: x (-∞,-2> , (-3,+∞)
funkcja jest malejąca w przedziale: x (-2, 3>