Monotoniczność funkcji liniowej

Jak już wiesz, funkcja liniowa jest monotoniczna – może być rosnąca, malejąca lub stała.

To, jaka jest monotoniczność funkcji liniowej, możemy bardzo prosto określić, widząc jej wzór.
Przypomnijmy, że wzór ogólny funkcji liniowej to , gdzie nazywamy współczynnikiem kierunkowym, a
– wyrazem wolnym. To właśnie od wartości współczynnika zależy monotoniczność.

Jeżeli >, funkcja jest rosnąca (im większy argument, tym większa wartość)
Jeżeli <, funkcja jest malejąca (im większy argument, tym mniejsza wartość)
Jeżeli , funkcja jest stała (wartość jest stała niezależnie od argumentu)

Zadanie 1:
Wypisz wartości współczynnika i określ monotoniczność funkcji danej wzorem:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Odpowiedzi:
a) ; funkcja jest rosnąca
b) ; funkcja jest malejąca
c) ; funkcja jest rosnąca
d) ; funkcja jest malejąca
e) ; funkcja jest stała
f) ; funkcja jest rosnąca

Zadanie 2:
Dla jakich wartości parametru funkcja dana wzorem jest rosnąca?
Rozwiązanie:
Tak, jak przy rozwiązywaniu zadania 1, interesuje nas tylko wartość współczynnika czyli wyrażenia, które „stoi przy „
W tym przypadku . Funkcja ma być rosnąca, czyli współczynnik kierunkowy musi być dodatni.
Zapisujemy to jako nierówność >. Po rozwiązaniu otrzymujemy >.
Odpowiedź:

Zadanie 3:
Dla jakich wartości parametru funkcja określona wzorem jest malejąca?
Rozwiązanie:
<- pamiętaj o minusie z przodu!
Następnie rozwiązujemy nierówność <
Odpowiedź: >

Zadanie 4 (zadanie zamknięte):
Dla której z podanych wartości parametru funkcja dana wzorem jest rosnąca?
A. B. C. D.
Rozwiązanie:
To zadanie rozwiązujemy analogicznie do poprzednich. Układamy nierówność >, z której otrzymujemy (po usunięciu niewymierności z mianownika) >. Znaczy to, że funkcja jest rosnąca wtedy, gdy wartość parametru jest większa od , co jest prawdziwe tylko dla odpowiedzi C.