Opracowanie:
Nierówność czebyszewa

Nierówność czebyszewa

Zweryfikowane

Nierówność Czebyszewa informuje o górnym ograniczeniu prawdopodobieństwa zdarzenia w taki sposób, że wartość nieujemnej zmiennej losowej jest większa bądź równa od dawno ustalonej dodatniej liczby.

Aby rozkład zmiennej losowej był poprawny, musi być spełniony tylko jeden warunek: musi być nieujemny. Innymi słowy, warunkiem jest zerowe prawdopodobieństwo . Podana nierówność jest bardzo ogólnym ograniczeniem. Nierówność Czebyszewa-Bienayme to odpowiednik nierówności Czebyszewa również dla zmiennych niespełniających tego warunku. Często jest też przez to nazywana nierównością Czebyszewa, mimo że nią nie jest i dochodzi do nieporozumień.

Kiedy X to zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Omega ,{mathcal F},P) oraz będzie spełniać warunek: {displaystyle P{X<0}=0,} natomiast E(X) to jej wartość oczekiwana, to dla każdego varepsilon data-lazy-src=

Wraz z prawdopodobieństwem 1 zachodzą nierówności:
{displaystyle Xgeqslant Xcdot mathbf {1} _{{Xgeqslant varepsilon }}geqslant varepsilon cdot mathbf {1} _{{Xgeqslant varepsilon }},}
gdzie {displaystyle mathbf {1} _{A}} to funkcja wskaźnikowa zdarzenia, natomiast {displaystyle mathbf {1} _{A}} zdefiniowane jest jako:
{displaystyle mathbf {1} _{A}(x)={begin{cases}0quad dla xnotin A\1quad dla xin Aend{cases}}.}
Pierwsza nierówność wynika z dwóch innych nierówności:
Pierwsza zachodzi z prawdopodobieństwem 1:
Xgeqslant 0 oraz {displaystyle 1geqslant mathbf {1} _{A}.}
Druga:
{displaystyle Xcdot mathbf {1} _{{Xgeqslant varepsilon }}geqslant varepsilon cdot mathbf {1} _{{Xgeqslant varepsilon }}iff {begin{cases}0geqslant 0quad dla Xnot geqslant varepsilon \Xgeqslant varepsilon quad dla Xgeqslant varepsilon end{cases}},}
co oznacza, że jest oczywista.
Jeśli weźmie się wartości oczekiwane powyższych zmiennych losowych oraz jeśli skorzysta się z elementarnych własności wartości oczekiwanej, otrzyma się łańcuszek nierówności:
{displaystyle E(X)geqslant E(Xcdot mathbf {1} _{{Xgeqslant varepsilon }})geqslant E(varepsilon cdot mathbf {1} _{{Xgeqslant varepsilon }})=varepsilon cdot E(mathbf {1} _{{Xgeqslant varepsilon }})=varepsilon cdot int limits _{Omega }mathbf {1} _{{Xgeqslant varepsilon }}dP=varepsilon cdot P{Xgeqslant varepsilon }.}
Z definicji całki Lebesgue’a z funkcji wskaźnikowej wynika ostatnia podana równość. Jeśli podzieli się skrajne wyrazy przez {displaystyle varepsilon ,} otrzyma się nierówność Czebyszewa.
Z omawianej nierówności wynikają nierówności: Markowa, Czebyszewa-Bienayme czy wykładnicze nierówności Czebyszewa.

Powyższe zadanie zostało zweryfikowane przez nauczyciela
To top