Opracowanie:
Nierówność czebyszewa
Nierówność czebyszewa
Nierówność Czebyszewa informuje o górnym ograniczeniu prawdopodobieństwa zdarzenia w taki sposób, że wartość nieujemnej zmiennej losowej jest większa bądź równa od dawno ustalonej dodatniej liczby.
Aby rozkład zmiennej losowej był poprawny, musi być spełniony tylko jeden warunek: musi być nieujemny. Innymi słowy, warunkiem jest zerowe prawdopodobieństwo . Podana nierówność jest bardzo ogólnym ograniczeniem. Nierówność Czebyszewa-Bienayme to odpowiednik nierówności Czebyszewa również dla zmiennych niespełniających tego warunku. Często jest też przez to nazywana nierównością Czebyszewa, mimo że nią nie jest i dochodzi do nieporozumień.
Kiedy to zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej
oraz będzie spełniać warunek:
natomiast
to jej wartość oczekiwana, to dla każdego
Wraz z prawdopodobieństwem 1 zachodzą nierówności:
gdzie
Pierwsza nierówność wynika z dwóch innych nierówności:
Pierwsza zachodzi z prawdopodobieństwem 1:
Druga:
co oznacza, że jest oczywista.
Jeśli weźmie się wartości oczekiwane powyższych zmiennych losowych oraz jeśli skorzysta się z elementarnych własności wartości oczekiwanej, otrzyma się łańcuszek nierówności:
Z definicji całki Lebesgue’a z funkcji wskaźnikowej wynika ostatnia podana równość. Jeśli podzieli się skrajne wyrazy przez
Z omawianej nierówności wynikają nierówności: Markowa, Czebyszewa-Bienayme czy wykładnicze nierówności Czebyszewa.