Nierówność trójkąta

Sprawdźmy czy z każdych trzech odcinków da się zbudować trójkąt. Jako przykłady weźmy odcinki o długości 6, 7 i 10 oraz 1, 3 i 5.

Oto odcinki o długości 6, 7 i 10. Spróbujmy zbudować z nich trójkąt.

Jak widać na rysunku, z odcinków o długości 6, 7 i 10 można zbudować trójkąt.

Oto odcinki o długości 6, 7 i 10. Spróbujmy teraz z nich zbudować trójkąt.

Na rysunku widać, że to niemożliwe.

Wniosek jest taki, że trójkąta nie da się zbudować z boków dowolnej długości. Aby zbudowanie trójkąta było możliwe muszą zostać spełnione pewne warunki.

W dowolnym trójkącie długość dowolnego boku musi być mniejsza od sumy dwóch pozostałych boków i jednocześnie większa od ich różnicy.

Zasadę tą można zapisać w ten sposób:
b-c < a < b+c
a-c < b < a+c
a-b < c < a+b

Jest to twierdzenie o nierówności trójkąta.

Jeżeli natomiast dowolny bok będzie równy sumie lub różnicy dwóch pozostałych boków powstanie trójkąt zdegenerowany, czyli trójkąt mający postać odcinka. Jeden z kątów trójkąta zdegenerowanego ma 180°, a pozostałe dwa kąty – 0°.
– trójkąt zdegenerowany (c-b=a, c-a=b, a+b=c)