Nierówność z wartością bezwzględną

Aby rozwiązać nierówność z wartością bezwzględną musimy rozważyć kilka przypadków. Jeśli dowolne wyrażenie oznaczymy jako , a dowolną dodatnią liczbę rzeczywistą jako , to:

1) |w| < a w > -a w < a -a < w < a w (-a, a)
Przykład:
|5-x| < 1,5 5-x > -1,5 5-x < 1,5
-x > -1,5-5 -x < 1,5-5
-x > -6,5 | (-1) -x < -3,5 | (-1)
Uwaga! Należy pamiętać, że przy mnożeniu lub dzieleniu przez wartość ujemną odwracamy znak nierówności.
x < 6,5 x > 3,5
Powyższe zbiory rozwiązań możemy zaznaczyć na osi. Ponieważ wyrażenia połączone są spójnikiem (i), ostateczny wynik jest iloczynem zbiorów (częścią wspólną). Został on zaznaczony na rysunku kolorem:

Możemy zapisać to jako jedną nierówność:
3,5 < x < 6,5
Wynik zapisujemy jako zbiór liczbowy:
x (3,5, 6,5)

2) |w| a w -a w a -a w a w <-a, a>
Przykład:
|x+2| 10 x+2 -10 x+2 10
x -12 x 8
Powyższe zbiory rozwiązań możemy zaznaczyć na osi. Ponieważ wyrażenia połączone są spójnikiem (i), ostateczny wynik jest iloczynem zbiorów (częścią wspólną). Został on zaznaczony na rysunku kolorem:

Możemy zapisać to jako jedną nierówność:
-12 x 8
Wynik zapisujemy jako zbiór liczbowy:
x <-12, 8>

3) |w| > a w < -a w > a w (-, -a) (a, +)
Przykład:
|x-4| > 4 x-4 < -4 x-4 > 4
x < 0 x > 8
Powyższe zbiory rozwiązań możemy zaznaczyć na osi. Ponieważ wyrażenia połączone są spójnikiem (lub), ostateczny wynik jest sumą zbiorów. Został on zaznaczony na rysunku kolorem:

Wynik zapisujemy jako sumę zbiorów:
x (-, 0) (8, +)

4) |w| a w -a w a w (-, -a> )
Przykład:
|0,25+x| 1,25 0,25+x -1,25 0,25+x 1,25
x -1,5 x 1
Powyższe zbiory rozwiązań możemy zaznaczyć na osi. Ponieważ wyrażenia połączone są spójnikiem (lub), ostateczny wynik jest sumą zbiorów. Został on zaznaczony na rysunku kolorem:

Wynik zapisujemy jako sumę zbiorów:
x (-, -1,5> <1, +)

Inne sytuacje:

|x+4| < -1 sprzeczne!
Wartość bezwzględna nigdy nie może być liczbą ujemną.

|2-x| > -3 nieskończenie wiele rozwiązań
x R (zbiór liczb rzeczywistych)
Wartość bezwzględna nigdy nie będzie mniejsza niż -3, więc w każdej sytuacji nierówność jest prawdziwa.

|x+6| 0 można rozłożyć to na dwie możliwości:
1) |x+6| < 0 sprzeczne!
2) |x+6| = 0
x+6 = 0
x = -6
-6 to jedyne rozwiązanie

|x-2| > 0 nierówność jest prawdziwa dla każdego wyrażenia oprócz takiego, które będzie równe 0
x-2 ≠ 0
x ≠ 0+2
x ≠ 2
x nie może być równy 2!
x R-{2} (x należy do zbioru liczb rzeczywistych oprócz liczby 2)