Nierówności trygonometryczne

1. Czym są nierówności trygonometryczne?

Są to nierówności z funkcjami trygonometrycznymi, czyli funkcjami sinus, cosinus, tangens czy cotangens. Niewiadoma w takich nierównościach nie może występować samodzielnie, lecz tylko i wyłącznie jako argument którejś z funkcji.

2. Jak rozwiązać nierówność trygonometryczną?

Najłatwiejszym ze sposobów rozwiązywania nierówności trygonometrycznej jest metoda graficzna. Spróbujmy ją wykorzystać, aby rozwiązać prostą nierówność:

W tym celu rysujemy w układzie współrzędnych sinusoidę, a następnie poziomą prostą, równoległą do osi i przechodzącą przez punkt o współrzędnych .

Jak możemy odczytać z wykresu, powyższa nierówność jest spełniona dla nieskończonej ilości przedziałów, m. in. dla < >. W odpowiedzi musimy te przedziały uogólnić, wykorzystajmy więc do tego jeden konkretny przedział i zauważmy, iż wartości jego argumentów, większe od , powtarzają się co .

Rozwiązaniem nierówności będzie więc <>, .

Spróbujmy teraz bez wykresu rozwiązać nierówność:

>

Jak wiemy zbiorem wartości funkcji cosinus jest <>, czyli że wykres w całości znajduje się nad prostą równoległą do osi i przechodzącą przez punkt . Wynika z tego, że rozwiązaniem nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych , ponieważ dla każdego funkcja cosinus przyjmuje wartości większe od .

Teraz spójrzmy na nierówność:

Zbiór wartości funkcji sinus pokrywa się ze zbiorem wartości funkcji cosinus. Liczba jest większa od , która jest najwyższą wartością, jaką może przyjąć funkcja sinus. Rozwiązaniem nierówności będzie więc zbiór pusty , gdyż nie ma takiego argumentu, którego sinus byłby większy od .

Spróbujmy teraz rozwiązać trudniejszą nierówność metodą algebraiczną. Przykładowo:

<

Niech , < >. Otrzymujemy więc prostą nierówność kwadratową:

<

Teraz wyliczamy Δ:

Obliczamy pierwiastki i :

Oba pierwiastki spełniają warunek, by < >, więc teraz powróćmy do funkcji sinus.

,

Po zaznaczeniu tych liczb na osi i prowizorycznym naszkicowaniu wykresu funkcji, otrzymujemy, że rozwiązaniem nierówności jest:

,

Musieliśmy wyrzucić z rozwiązania otrzymane , gdyż była to nierówność ze znakiem tylko mniejszości (<), a nie znakiem mniejszości lub równości ( ).

Tak więc, podsumowując, najlepszą i najczęściej stosowaną metodą przy rozwiązywaniu prostych nierówności trygonometrycznych jest metoda graficzna i polega ona po prostu na narysowaniu wykresu funkcji i odczytaniu z niego rozwiązań. Niektóre nierówności możemy też rozwiązać w pamięci, natomiast te trudniejsze – metodą algebraiczną lub również graficzną, stosując przekształcenia wykresów podstawowych funkcji.