Nierówności wymierne

Nierówności wymierne

Postaci nierówności:
< >

zarówno W(x) jak i P(x) są wielomianami, gdzie P(x) nie może być równe 0

Dziedziną takiej nierówności są wszystkie liczby rzeczywiste z wyłączeniem liczb, które są pierwiastkami wielomianu P(x), czyli wielomianu znajdującego się w mianowniku ułamka.

przykład 1:

Rozwiąż daną nierówność: >

oczywiście rozwiązywanie zadania zaczynamy od założenia:
≠
≠

Do dalszej części zadania będzie potrzebna znajomość następującej własności:
Obie strony nierówności możemy pomnożyć przez kwadrat mianownika, czyli , jeżeli to zrobimy, otrzymamy:
P(x)≠0 własność ta działa oczywiście analogicznie dla innych znaków nierówności.

> obustronnie pomnożymy przez kwadrat mianownika, czyli przez (6+x)2
>

rozwiązaniem tego równania są liczby x=5 i x=-6, zatem zaznaczmy te miejsca na osi (ramiona paraboli będą skierowane w dół, ponieważ x przy najwyższej potędze, będzie poprzedzony minusem):

Naszym założeniem jest, że x nie może być równe -6, jednak odpowiedzi nam to nie zmieni, ponieważ znak nierówności informował nas o tym, że ma być większe, a nie większe lub równe (przedział otwarty), zatem:

przykład 2:

Rozwiąż daną nierówność:

założenie:
≠
≠

rozwiązujemy nierówność, mnożąc obustronnie przez kwadrat mianownika

rozwiązaniem równania są liczby x=2 i x=-3
tak jak w poprzednim przykładzie umieszczamy liczby na osi, uwzględniając znak nierówności i kierunek ramion paraboli

patrząc na rysunek otrzymujemy rozwiązanie:
( > < )
musimy uwzględnić również założenie, z czego otrzymujemy:
< )

przykład 3:

Rozwiąż daną nierówność:

zaczynamy od założenia:
≠

Aby rozwiązać taką nierówność „przerzucamy” wszystko na lewą stronę, aby po prawej mieć 0

sprowadzamy wyrażenia do wspólnego mianownika

teraz postępujemy tak jak poprzednio, czyli mnożymy obustronnie przez kwadrat mianownika

rozwiązaniem równania są liczby x=0 oraz x=12, zaznaczamy je na osi

korzystając z rysunku możemy zapisać rozwiązanie nierówności
( > < )

musimy pamiętać o założeniu i uwzględnić je w rozwiązaniu:
< )

przykład 4:

Rozwiąż daną nierówność:

warto zauważyć, że 8 możemy zapisać jako 22 otrzymując – teraz możemy użyć wzoru skróconego mnożenia

założenie:
≠
≠

rozwiązujemy nierówność:

wyrażenia po prawej stronie sprowadzamy do wspólnego mianownika

obustronnie odejmujemy wyrażenie znajdujące po prawej stronie nierówności

tak jak poprzednio, mnożymy obie strony przez kwadrat mianownika

posłużymy się metodą grupowania wyrazów

delta dla tego równania jest mniejsza niż 0, zatem brak miejsc zerowych

rysujemy oś i zaznaczamy otrzymane x:

korzystając z rysunku i uwzględniając założenie (x≠-2) otrzymujemy:
( > < >

!! warto pamiętać:
1)zawsze rozwiązywanie zadania zaczynamy od napisania założenia
2)wykres zaczynamy rysować od prawej strony, jeżeli a przy najwyższej potędze x jest ujemne rysowanie zaczynamy od dołu, natomiast jeżeli a jest dodatnie-od góry
3)dokładnie patrzymy na znak, aby poprawnie zaznaczyć i zapisać przedział
4)na koniec upewniamy się, że w odpowiedzi zostało uwzględnione założenie