Nierówności z wartością bezwzględną

Nierówności z wartością bezwzględną

Niech przykładową nierównością, będzie nierówność typu: <
Aby zacząć rozwiązywanie, musimy sobie przypomnieć, co powoduje obecność wartości bezwzględnej.
Wyrażenie, które znajduje się między wartością bezwzględną musi być mniejsze od b, ale jednocześnie musi być większe od liczby przeciwnej do b, czyli większe od -b. Jeżeli zatem chcemy opuścić wartość bezwzględną, zapisujemy dwie następujące nierówności:

< >

Dwie powyższe nierówności muszą być spełnione jednocześnie.

przykład 1:

Rozwiąż daną nierówność: >

tak jak przy każdych tego typu zadaniach, koniecznie musimy zacząć od zapisania założenia (mianownik nie może być równy 0):

≠
≠

zaczynamy rozwiązywać nierówność:

> obustronnie mnożymy przez jeden i drugi mianownik, czyli przez i otrzymujemy:

>

teraz musimy skorzystać z własności wartości bezwzględnej, czyli:
< >

Koniecznie trzeba zwracać uwagę na znaki! Zarówno na plusy i minusy jak i kierunek symbolu nierówności.

< >

czyli otrzymujemy przedział: , ale musimy powrócić do założenia i uwzględnić je w końcowej odpowiedzi
x nie może być równe 1, więc:

przykład 2:

Rozwiąż daną nierówność:

założenie:
x≠0

tutaj musimy rozważyć dwa możliwe przypadki

przypadek 1:
jeżeli mamy taki przypadek, wówczas wyrażenie, które znajduje się wewnątrz wartości bezwzględnej jest nieujemne i otrzymujemy:

mnożymy licznik i mianownik lewej strony przez x, aby sprowadzić wyrażenia do tego samego mianownika

obustronnie odejmujemy

obustronnie mnożymy przez kwadrat mianownika znajdującego się po lewej stronie nierówności

dla wyrażenia w nawiasie musimy policzyć deltę, aby móc zapisać funkcję kwadratową w postaci iloczynowej i odczytać pierwiastki

dla ułatwienia nanosimy x na oś:

patrząc na wykonany rysunek, otrzymujemy:
( > < >

musimy pamiętać o założeniu, że x nie może być równe 0 oraz o warunku początkowym, że
< >

przypadek 2: <
w takim wypadku, wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej jest ujemne i otrzymujemy:

sprowadzamy lewą stronę do takiego samego mianownika jaki widnieje po prawej stronie nierówności

odejmujemy obustronnie

mnożymy obie strony nierówności przez kwadrat mianownika, czyli przez x2

delta wyrażenia w nawiasie jest ujemna, zatem brak pierwiastków
na osi zaznaczamy jedynie x=0

patrząc na rysunek, możemy zapisać: <)

musimy uwzględnić warunek, że x<1 i założenie, że x nie może być równe 0, z czego otrzymujemy:

Aby doprowadzić do ostatecznego wyniku musimy spiąć rozwiązania z przypadku 1 oraz 2:

<>

zatem: (>

przykład 3:

Rozwiąż daną nierówność:

Oczywiście zaczynamy od założenia, że mianownik nie może być równy 0:
≠
≠

Stosujemy się do własności zapisanej na samym początku, czyli:

jedną i drugą nierówność obustronnie mnożymy przez (x+1)2, aby pozbyć się mianownika

(podzieliliśmy przez -7, czyli przez liczbę ujemną, dlatego musimy pamiętać o zmianie kierunku znaku nierówności!)

(> <)

musimy wybrać część wspólną zarówno wartości, które wyznaczyła nam parabola z drugiej nierówności, jak i wartości wyznaczone przez pierwszą nierównością, zatem:

wspólne wartości zostały zaznaczone kolorem granatowym oraz punkt -1, są to:
<)

teraz najważniejsza część przy zapisywaniu ostatecznego rozwiązania – powrót do założenia
naszym założeniem było: ≠ , zatem z powyższego zapisu wyrzucamy -1, otrzymując:

<)

przykład 4:

Rozwiąż daną nierówność: >

założenie:
≠
≠

mamy zapisane założenie, więc przechodzimy do rozwiązywania nierówności, korzystając z własności:

> <

jeden i drugi przypadek obustronnie mnożymy przez kwadrat mianownika, czyli przez

> <

> <

> <

zapisujemy jedną i drugą nierówność w postaci iloczynowej
> <

otrzymujemy:
oraz

nasze założenie wykluczało liczbę -4, jednak przedziały przy -4 są otwarte, zatem nie musimy nic zmieniać, jedynie zapisać rozwiązanie jako suma obydwu przedziałów: