Nww i nwd

NWW i NWD

Co kryje się za tymi skrótami?

NWW – Najmniejsza Wspólna Wielokrotność

NWD – największy wspólny dzielnik.

Co oznaczają powyżej wskazane definicje?

NWW oznacza najmniejszą liczbę, która jest jednocześnie podzielna przez wszystkie liczby dla których wyznaczamy NWW.

NWD oznacza największą liczbę przez którą można podzielić wszystkie liczby dla których wyznaczamy NWD.

Gdy już wiemy czym jest NWW i NWD, przejdźmy do sposobów na obliczenie obu tych wyrażeń, zaczynając od tego drugiego.

(Dla lepszego zrozumienia tematu, będę posługiwał się NWW i NWD dla dwóch liczb).

Największy wspólny dzielnik obliczamy w sposób następujący:

1. Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze.
2. Mnożymy czynniki powtarzające się w obu rozkładach przez siebie.
3. Otrzymujemy NWD.

Na czym polega rozkład na czynniki pierwsze?

Rozkład na czynniki pierwsze polega na tym, że liczbę przedstawiamy za pomocą iloczynu liczb pierwszych np.

25=5×5
8=2×2×2
9=3×3
27=3×3×3
24=2×2×2×3

Więc, czym są liczby pierwsze?

Są to liczby, które posiadają tylko dwa dzielniki, jedynkę i siebie samą. np.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 itd.
Zadnie 1:

Rozłóż na czynniki pierwsze liczbę:

a) 56

56:2
28:2
14:2
7:7
1

56=2×2×2×7

b) 34

34:2
17:17
1

34=2×17

c) 22

22:2
11:11
1

22=2×11

d) 100

100:2
50:2
25:5
5:5
1

100=2×2×5×5

e) 15

15:3
5:5
1

15=3×5

f) 99

99:3
33:3
11:11
1

99=3×3×11

g) 36

36:2
18:2
9:3
3:3
1

36=2×2×3×3

h) 35

35:5
7:7
1

35=5×7

Gdy mamy już wszystkie pojęcia wyjaśnione dotyczące NWD i potrafimy rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze, to możemy przejść do rozwiązania przykładowego zadania z NWD

Zadanie 2:

Oblicz NWD dla liczb:

a) 40 i 20

Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze:

40:2 20:2
20:2 10:2
10:2 5:5
5:5 1
1
Liczby powtarzające się w obu rozkładach:

2, 2, 5

NWD(40,20)=2×2×5=20

b) 15 i 10

Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze:

15:3 10:2
5:5 5:5
1 1

Liczby powtarzające się w obu rozkładach:

5

NWD(15,10)=5

c) 16 i 48

Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze:

48:2 16:2
24:2 8:2
12:2 4:2
6:2 2:2
3:3 1
1

Liczby powtarzające się w obu rozkładach:

2, 2, 2, 2

NWD(48,16)=2×2×2×2=16

d) 4 i 25

Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze:

25:5 4:2
5:5 2:2
1 1

Brak liczb powtarzających się w obu rozkładach oznacza, że te dwie liczby nie posiadają żadnego wspólnego dzielnika, co powoduje, że nie mogą mieć również NWD.

e) 72 i 9

Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze:

72:2 9:3
36:2 3:3
18:2 1
9:3
3:3
1

Liczby powtarzające się w obu rozkładach:

3, 3

NWD(72,9)=3×3=9

f) 8 i 22

Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze:

22:2 8:2
11:11 4:2
1 2:2
1

Liczby powtarzające się w obu rozkładach:

2

NWD(22,8)=2

g) 10 i 14

Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze:

14:2 10:2
7:7 5:5
1 1

Liczby powtarzające się w obu rozkładach:

2

NWD(14,10)=2

h) 12 i 36

Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze:

36:2 12:2
18:2 6:2
9:3 3:3
3:3 1
1

Liczby powtarzające się w obu rozkładach:

2, 2, 3

NWD(36,12)=12

Przejdźmy teraz do obliczania NWW

Najmniejszą Wspólną Wielokrotność obliczamy w sposób następujący:

1. Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze.
2. Wszystkie liczby z jednego rozkładu mnożymy ze sobą, oraz te z drugiego(lecz w drugim za wyjątkiem liczb które znajdują się już w pierwszym).
3. Otrzymujemy NWW.

Zadanie 3

*na czerwono zaznaczono liczby których nie bierzemy pod uwagę podczas obliczania NWW*

Oblicz NWW dla liczb:

a) 80 i 30

Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze:

80:2 30:2
40:2 15:2
20:2 15:3
10:2 5:5
5:5 1
1

Liczby powtarzające się w obu rozkładach: 2, 2, 5
(NWW liczymy mnożąc wszystkie liczby, za wyjątkiem nich, czyli za wyjątkiem tych zaznaczonych na czerwono).

NWW(40,15)=2×2×2×2×5×3=240

b) 15 i 2

Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze:

15:3 2:2
5:5 1
1

Brak liczb powtarzających się w obu rozkładach, więc wymnażamy wszystkie czynniki:

NWW(15,2)=3×5×2=30

c) 14 i 9

Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze:

14:2 9:3
7:7 3:3
1 1

Brak liczb powtarzających się w obu rozkładach, więc wymnażamy wszystkie czynniki:

NWW(14,9)=2×7×3×3=126

d) 21 i 8

Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze:

21:3 8:2
7:7 4:2
1 2:2
1

Brak liczb powtarzających się w obu rozkładach, więc wymnażamy wszystkie czynniki:

NWW(21,8)=3×7×2×2×2=168

e) 3 i 7

Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze:

3:3 7:7
1 1

Brak liczb powtarzających się w obu rozkładach, więc wymnażamy wszystkie czynniki:

NWW(3,7)=3×7=21

f) 6 i 45

Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze:

45:3 6:2
15:3 3:3
5:5 1
1

Liczby powtarzające się w obu rozkładach: 3
(NWW liczymy mnożąc wszystkie liczby, za wyjątkiem nich, czyli za wyjątkiem tych zaznaczonych na czerwono).

NWW(45,6)=3×3×5×2=90

g) 32 i 3

Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze:

32:2 3:3
16:2 1
8:2
4:2
2:2
1

Brak liczb powtarzających się w obu rozkładach, więc wymnażamy wszystkie wszystkie czynniki:

NWW(32,3)=2×2×2×2×2×3=96

h) 8 i 6

Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze:
8:2 6:2
4:2 3:3
2:2 1
1

Liczby powtarzające się w obu rozkładach: 2
(NWW liczymy mnożąc wszystkie liczby, za wyjątkiem nich, czyli za wyjątkiem tych zaznaczonych na czerwono).

NWW(8,6)=2×2×2×3=24

Dziękuję za uwagę.