Objętość

Jeśli chcesz dowiedzieć się jaka jest pojemność danej rzeczy, musisz policzyć jej objętość.
Pojemność i objętość zawsze są ze sobą równe!
Weź za przykład plastikową butelkę: tyle ile ma objętości – tyle wody się w niej zmieści.
Oznaczeniem objętości jest V, które jest skrótem „volume”, z angielskiego „objętość”

Pomimo, że podstawową jednostką objętości są metry sześcienne (m³) w większości przypadków używa się takich jednostek jak litry (l), mililitry (ml), itp. Jest tak dlatego, ponieważ metr sześcienny to bardzo duża przestrzeń i jest nierealna do używania w życiu codziennym. Przecież nie powiesz, że kupiłeś sobie 0.001 metra sześciennego wody.
[0.001 metra sześciennego to 1 litr wody]
Na pewno spotkałeś się z miarą objętości w litrach, chociażby podczas robienia twojego ulubionego przepisu na naleśniki czy mierzenia pojemności twojego akwarium.
Należy również zaznaczyć, że miarę litrów przeważnie używa się do określania ilości cieczy.
Ciekawostka: litr w Ameryce, Kanadzie i Australii jest oznaczany symbolem „L”, w innych krajach takich jak chociażby Polska – oznacza się go symbolem „l”.
.
Pamiętaj!
1l – 1dm³
1ml – 0.001l
[1l – 1 litr | 1ml – 1 mililitr | 1dm³ – 1 decymetr sześcienny]

Objętości nie można zmierzyć w figurach dwuwymiarowych.
W figurach dwuwymiarowych (np. kwadrat, trójkąt itp.) wymieniamy dwie wartości:
Pole i obwód.
Obwód liczy się dodając do siebie wszystkie boki figury, natomiast pole jest zależne od jakiej figury je wyliczamy. Np. wzór na pole trapezu to: P = (a + b) h : 2, a wzór na pole trójkąta to:
P = a h : 2
Zad. Oblicz pole i obwód kwadratu o boku a = 5cm
[Wzór na pole kwadratu: a²]

P = a² = 5cm² = 5cm 5cm = 25cm²
Obw = a 4 = 5cm 4 = 5cm + 5cm +5cm + 5cm = 20cm
Odp. Pole Kwadratu o boku a = 5cm jest równe 25cm², a jego obwód wynosi 20cm.

Inaczej jest w figurach trójwymiarowych (np. sześcian, walec, itp). Wymieniamy w nich również dwie wartości ale tym razem są to:
Pole całkowite i objętość.
Jak zapewne wiesz, figury trójwymiarowe są zbudowane z wielu figur dwuwymiarowych.
To oznacza, że pole bryły, będzie równe sumie pól wszystkich figur dwuwymiarowych z których jest zbudowana bryła.
Zad. Oblicz pole całkowite Sześcianu o boku a = 5cm
[Wzór na pole całkowite sześcianu: Pc = a² 6]

P = 5cm² = 5cm 5cm = 25cm²
Pc = 5cm² 6 = 25cm² 6 = 150cm²

Skoro już obliczyłeś pole całkowite, weźmy się za objętość.
Zad. Jaką objętość zajmuje sześcian o boku a = 5cm?
[Wzór na objętość sześcianu: a a a]
V = a³ = a a a = 5cm 5cm 5cm = 125cm³
Odp. Sześcian o boku a = 5cm ma objętość równą 125cm³

Objętość tak samo jak pole ma inne wzory w różnych figurach.
W sześcianie jest to a³, a w innych bryłach?

Zad. Jaką objętość zajmuje ostrosłup o polu podstawy równym 8cm² oraz wysokości równej 6cm?
[Wzór na objętość ostrosłupa: V =Pp h : 3] Pp – Pole podstawy

Pp = 8cm²
V = Pp h : 3
V = 8cm² 6cm : 3 = 16cm³
Odp. Ostrosłup o polu podstawy równym 8cm² oraz wysokości równej 6cm ma objętość równą ok. 16cm³.

Zad. Jaką objętość zajmuje prostopadłościan o bokach podstawy a = 6cm i b = 2cm oraz wysokości równej 8cm?
[Wzór na objętość prostopadłościanu to: V = Pp h]

Pp = a b
Pp = 6cm ²
V = Pp h
V = 12cm² 8cm = 96cm³
Odp. Objętość graniastosłupa prostego o polu podstawy równym 12cm² oraz wysokości równej 8cm wynosi 96cm³.

Pamiętaj: Prostopadłościan jest również graniastosłupem

Zad. Jaką objętość zajmuje graniastosłup trójkątny o boku podstawy a = 4cm i hp = 3cm oraz wysokości równej 8cm?
(hp = wysokość podstawy)
[Wzór na objętość graniastosłupa to: V = Pp h]

Pp = a hp : 2 (wzór na pole trójkąta)
Pp = 4cm 3cm : 2 = 6cm²
V = Pp h
V = 6cm² 8cm = 48cm³
Odp. Graniastosłup trójkątny o polu podstawy równym 6cm² oraz wysokości równej 8cm ma objętość równą 48cm³.

Skoro już wiesz jak obliczać objętość w bryłach powyżej, zastosuj swoją wiedzę w praktyce! Rozwiązania znajdziesz na dole.

Zad. 1 Samodzielnie oblicz objętość sześcianu o boku a = 8cm. Wykorzystaj przykład powyżej.

Dane:
a = 8cm
Szukane:
V = ?

Zad. 2 Samodzielnie oblicz objętość ostrosłupa o polu podstawy równym 5cm² oraz wysokości 4cm.

Dane:
Pp = 6cm²
h = 4cm
Szukane:
V = ?

Zad. 3 Samodzielnie oblicz objętość prostopadłościanu o bokach podstawy 6cm i 9cm oraz wysokości równej 14cm.

Dane:
a = 9cm
b = 6cm
h = 14cm
Szukane:
Pp = ?
V = ?

Zad. 4 Samodzielnie oblicz objętość graniastosłupa trójkątnego o boku podstawy a = 7cm i
hp = 5cm oraz wysokości równej 12cm.

Dane:
a = 7cm
hp = 5cm
h = 12cm
Szukane:
Pp = ?
V = ?

Rozwiązania:
Zad. 1
V = 8cm 8cm 8cm = 512cm³
Zad. 2
V = 6cm² 4cm : 3 =8cm³
Zad. 3
Pp = 9cm 6cm = 54cm²
V = 54cm² 14cm = 756cm³
Zad. 4
Pp = 7cm 5cm : 2 = 17.5cm²
V = 17.5cm² 12cm = 210cm³

Podsumowanie: Objętość jest niezbędną miarą w matematyce jak i w życiu codziennym. Pozwala na określenie zajmowanej przestrzeni trójwymiarowej.
Jej jednostkami są np. litry, mililitry, metry sześcienne, decymetry sześcienne.
Objętości jest jedynie wartością w świecie trójwymiarowym, co oznacza, że nie da się jej zmierzyć w figurach takich jak kwadrat, czy trójkąt.

Najważniejsze wzory na objętość to:
V = Pp h | Wzór na objętość graniastosłupów
V = Pp h : 3 | Wzór na objętość ostrosłupów