Objętość kuli

Objętość kuli
Aby poznać wzór na objętość kuli, najpierw musimy się dowiedzieć, co to takiego jest ta cała kula. A mianowicie kula to bryła obrotowa, czyli ograniczona powierzchnią bryła geometryczna. Powstała ona poprzez obrót figury płaskiej dookoła prostej, którą nazywamy osią obrotu. Najbardziej powszechnymi bryłami obrotowymi są walec kołowy prosty, kula i stożek. W przypadku kuli tą figurą płaską jest koło, które obraca się dookoła swojej średnicy. Ważne jest też to, że powierzchnia kuli jest nazywana sferą, a dokładniej to ujmując sfera to zbiór wszystkich punktów danej przestrzeni, których odległości od pewnego punktu są równe. Ta odległość jest nazywana promieniem sfery.

Ten obrazek przedstawia kulę oraz zaznaczone są na nim R, czyli promień oraz oś obrotu dookoła której kręcił się okrąg, aby stworzyć kulę.

Skoro już posiadamy podstawowe informacje o tej bryle obrotowej, a dokładniej o kuli, to możemy poznać ważne wzory, które jej dotyczą.

Pierwszym wzorem jest wzór na objętość kuli:
gdzie to tak zwana liczba pi (jest to stosunek obwodu koła do długości jego średnicy), a w zaokrągleniu do 2 miejsc po przecinku liczba pi to 3,14; jest to natomiast promień kuli

Drugim równie ważnym wzorem jest wzór na pole powierzchni całkowitej kuli, można to też nazywać wzorem na pole sfery kuli:
gdzie tak jak w poprzednim wzorze to liczba pi (), a to promień kuli

Trzecim wzorem i zarazem ostatnim jest wzór na pole koła wielkiego, czyli na pole przekroju osiowego. Na poniższym rysunku kolorem granatowym zostało oznaczone koło wielkie, czyli przekrój osiowy kuli. Wzorem na jego pole jest nic innego jak po prostu wzór na pole koła, czyli Natomiast obwód przekroju osiowego możemy obliczyć po prostu ze wzoru na obwód koła, czyli

Teraz przyszedł czas na dowiedzenie się, gdzie możemy spotkać kule w życiu codziennym. Kule są używane w wielu dyscyplinach sportowych na przykład w bilardzie czy snookerze oraz w piłce nożnej, piłce ręcznej czy koszykówce, tylko zamiast słowa kuli używamy tam słowa piłka. W biżuterii kula jest jedną z najczęściej stosowanych brył na przykład w bransoletkach czy naszyjnikach. Kule widzimy także co roku na naszych choinkach, ponieważ przeważająca większość bombek na choinkach to kule.

Skoro już mamy najważniejsze informacje o kuli oraz wzory, które są bardzo potrzebne i przydatne przy tej bryle obrotowej, to możemy przełożyć teorię na praktykę, oto dwa zadania, które pozwolą Ci sprawdzić, czy potrafisz swoją ogromną wiedzę o kuli wykorzystać do rozwiązania zadań matematycznych.

Zadanie 1
Oblicz objętość i pole powierzchni kuli o promieniu 6cm.

Jest to bardzo proste zadanie, ponieważ wystarczy wartość promienia podstawić do wzoru na objętość i pole powierzchni kuli i w ten sposób całe zadanie zostanie prawidłowo rozwiązane, oczywiście jeśli nie popełnimy żadnych błędów rachunkowych.

cm3 Musisz koniecznie pamiętać o odpowiednich jednostkach, ponieważ są one bardzo ważne.

cm2

Odpowiedź: Objętość kuli o promieniu 6 wynosi około 904,32 cm3, a jej pole powierzchni 452,16 cm2.

Zadanie 2
Przekrój osiowy kuli jest kołem, którego obwód wynosi 50 cm. Oblicz długość promienia, pole powierzchni przekroju osiowego oraz objętość całej kuli.

To również jest bardzo prostym zadaniem, jednak gdy nie wiemy jak rozwiązać jakiekolwiek zadanie, to pamiętajmy, aby najpierw wypisać dane, czyli wszystkie informacje, które wynikają z treści zadania, szukane, czyli rzeczy, które mamy obliczyć, a potem się znajdą w naszej odpowiedzi na zadanie oraz wzory związane z zadaniem.

Dane:
cm

Szukane:

Rozwiązanie:
Teraz przyszedł czas na wypisanie wszystkich wzorów, które mogą się nam przydać do rozwiązania zadania.
Musimy znaleźć teraz wzór, w którym mamy tylko jedną niewiadomą i ewentualnie go przekształcić.

cm Świetnie! Skoro znamy już promień, to możemy obliczyć pozostałe szukane wartości.
cm2
cm3

Odpowiedź: Długość promienia wynosi 25cm, pole powierzchni przekroju osiowego cm2, natomiast objętość całej kuli ma wartość około cm3.