Objętość ostrosłupa

Objętość ostrosłupa możemy obliczyć za pomocą wzoru V= *Pp*H.
Pp- pole podstawy
H- wysokość

Przykład 1
Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy równej 4 i wysokości równej 9.

Rozwiązanie:
Zacznijmy od obliczenia pola podstawy tego ostrosłupa. Wiemy, że w jego podstawie znajduje się czworokąt foremny zatem wzór na jego pole to P= a2.

Pp= a2
a= 4
Pp= 42
Pp= 16

Teraz możemy przejść do obliczenia objętości tego ostrosłupa.

Pp= 16
H= 9
V= *Pp*H
V= *16*9
V= 48

Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi 48.

Przykład 2 
Oblicz objętość ostrosłupa czworokątnego, którego podstawa ma wymiary 3×4 i wysokość jest równa 6.

Rozwiązanie:
W podstawie mamy prostokąt o wymiarach 3×4, dlatego aby obliczyć jego pole użyjemy wzoru P= a*b.

a= 3
b= 4
Pp= 3*4
Pp= 12

Mamy już wszystkie potrzebne informacje do obliczenia objętości tego ostrosłupa.

Pp= 12
H= 6
V= *Pp*H
V= *12*6
V= 24
Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi 24.

Przykład 3 
Oblicz objętość ostrosłupa, który ma w podstawie trójkąt o boku długości 3 i wysokości 6. Wysokość ostrosłupa ma długość 8.

Rozwiązanie:
Zaczynamy od obliczenia pola podstawy tego ostrosłupa. Wiemy, że ostrosłup ten ma w podstawie trójkąt o podstawie 3 i wysokości 6, zatem pole podstawy możemy obliczyć ze wzoru P= .

Pp=
Pp= 9 

Mamy obliczone już pole podstawy dlatego możemy przejść do obliczenia objętości tego ostrosłupa.

V= *Pp*H

Pp= 9
H= 8

V= *9*8
V= 24

Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi 24.

Przykład 4
Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy 6 i wysokości równej 7.

Rozwiązanie:
W podstawie tego ostrosłupa mamy trójkąt równoboczny, którego pole możemy obliczyć za pomocą wzoru P= .

Pp=
Pp=
Pp= 9√3

Mamy obliczone pole podstawy więc możemy obliczyć objętość:

H= 7
Pp= 9√3
V= *Pp*H
V= *9√3*7
V= 21√3

Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi 21√3.

Przykład 5 
Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego, którego krawędź podstawy wynosi 12, a wysokość 10.

Rozwiązanie:
Pole podstawy tego ostrosłupa musimy obliczyć ze wzoru P= .

a= 12
Pp=
Pp= 216√3

Obliczyliśmy pole podstawy dlatego możemy obliczyć objętość tego ostrosłupa.

Pp= 216√3
H= 10
V= *Pp*H
V= *216√3*10
V= 720√3

Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi 720√3.

Przykład 6
Oblicz objętość ostrosłupa o podstawie o wymiarach 10×12 i wysokości 8.

Rozwiązanie:
Najpierw obliczmy pole podstawy ostrosłupa ze wzoru P= a*b.

a= 10
b= 12
Pp= a*b
Pp= 10*12
Pp= 120

Teraz możemy przejść do obliczenia objętości.
Pp= 120
H= 8
V= *Pp*H
V= *120*8
V= 320

Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi 320.

Przykład 7
Oblicz objętość ostrosłupa, którego podstawa ma wymiary 3×7, a wysokość wynosi 10. 

Rozwiązanie:
W podstawie ostrosłupa mamy prostokąt, dlatego wzór na jego pole to P= a*b.

Pp= a*b
Pp= 3*7
Pp= 21

Kiedy znamy już pole podstawy możemy policzyć objętość.

Pp= 21
H= 10
V= *Pp*H
V= *21*10
V= 70

Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi 70.

Przykład 8
Oblicz objętość ostrosłupa, który ma w podstawie trapez, którego podstawy mają długości 8 i 10, a wysokość trapezu jest równa 4. Wysokość ostrosłupa ma długość 9.

Rozwiązanie:
Najpierw obliczmy pole podstawy ostrosłupa. Wiemy, że w podstawie jest trapez, którego podstawy mają długości 8 i 10, a wysokość tego trapezu wynosi 4. Pole podstawy obliczamy za pomocą wzoru na trapez.

Pp=
a= 8
b= 10
h= 4

Pp=
Pp= 36

Obliczyliśmy już pole podstawy, teraz możemy obliczyć objętość.
Pp= 36
H= 9

V= *Pp*H
V= *36*9
V= 108

Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi 108.

Przykład 9
Oblicz objętość ostrosłupa, który w podstawie ma romb, którego przekątne mają długość 6 i 2. Wysokość tego ostrosłupa wynosi 9.

Rozwiązanie:
Aby obliczyć pole podstawy tego ostrosłupa musimy użyć wzoru na pole rombu, czyli P= *e*f, gdzie e i f to długości przekątnych.

Pp= *e*f
e= 2
f= 6

Pp= *2*6
Pp= 6

Teraz obliczamy objętość.
Pp= 6
H= 9

V= *Pp*H
V= *6*9
V= 18

Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi 18.

Przykład 10
Oblicz objętość ostrosłupa, który ma w podstawie prostokąt o wymiarach 15×10 i wysokość długości 20.

Rozwiązanie:
Najpierw obliczmy pole podstawy 
Pp= a*b
Pp= 15*10
Pp= 150

Teraz możemy już obliczyć objętość.
Pp= 150
H= 20
V= *150*20
V= 1000

Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi 1000.

Przykład 11
Oblicz objętość ostrosłupa o podstawie deltoidu, którego przekątne mają długości 4 i 9, a wysokość tego ostrosłupa wynosi 12.

Rozwiązanie:
Obliczmy najpierw pole podstawy. W podstawie tego ostrosłupa znajduje się deltoid, którego przekątne mają długość 4 i 9. Wzór na pole deltoidu to P= .

Pp=
e= 4
f= 9

Pp=
Pp= 18

Pole podstawy wynosi 12.

Teraz możemy przejść do obliczenia objętości tego ostrosłupa.
Pp= 18
H= 12

V= *Pp*H
V= *18*12
V= 72

Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi 72.

Przykład 12
Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego, który w podstawie ma sześciokąt o boku 8, a wysokość tego ostrosłupa jest trzy razy większa od długości krawędzi podstawy tego ostrosłupa.

Rozwiązanie:
Najpierw obliczmy pole podstawy ze wzoru na sześciokąt.

Pp=
a= 8
Pp=
Pp=
Pp= 96√3

Pole podstawy tego ostrosłupa to 96√3.
Teraz musimy dowiedzieć się jaką długość ma jego wysokość. Wiemy, że krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość 8, a wysokość tego ostrosłupa jest trzy razy większa od długości krawędzi jego podstawy. Wykonując działanie 8 razy 3 dowiemy się jaką długość ma wysokość.

H= 8*3
H= 24

Wiemy już że wysokość tego ostrosłupa wynosi 24, dlatego możemy obliczyć objętość.

Pp= 96√3
H= 24
V= *Pp*H
V= *96√3*24
V= 768√3

Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi 768√3.

Przykład 13
Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego pole podstawy wynosi 16, a wysokość 6.

Rozwiązanie:
W tym zadaniu możemy od razu przejść do obliczenia objętości, ponieważ mamy podane wszystkie potrzebne informacje.

Pp= 16
H= 6
V= *Pp*H
V= *16*6
V= 32

Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi 32.

Przykład 14
Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o polu podstawy 36 i wysokości dwa razy większej niż krawędź podstawy tego ostrosłupa.

Rozwiązanie:
Pole podstawy mamy podane w zadaniu, dlatego zaczynamy od obliczenia wysokości. Wiemy, że wysokość tego ostrosłupa jest trzy razy większa niż krawędź jego podstawy. Krawędź podstawy otrzymamy po spierwiastkowaniu 36.

a2= 36
a= 6

Wiemy, że krawędź podstawy wynosi 6, dlatego teraz możemy obliczyć wysokość tego ostrosłupa mnożąc 6 razy 2.

H= 6*2
H= 12

Obliczyliśmy już wysokość ostrosłupa, dlatego możemy obliczyć objętość.

Pp= 36
H= 12
V= *Pp*H
V= *36*12
V= 144

Odpowiedź: Ostrosłup ten ma objętość 144.

Przykład 15
Oblicz objętość dwóch ostrosłupów jednego prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 10 i wysokości 12 oraz drugiego, który ma w podstawie prostokąt o wymiarach 5×9 i wysokość 15. Który ostrosłup ma większą objętość i o ile?

Rozwiązanie:
Zacznijmy od obliczenia pola podstawy pierwszego ostrosłupa.

Pp= a2
a= 10
Pp=102
Pp= 100

Teraz możemy obliczyć jego objętość.

V= *Pp*H
Pp= 100
H= 12
V= *100*12
V= 400

Wiemy zatem, że objętość pierwszego ostrosłupa wynosi 400.

W podstawie drugiego ostrosłupa mamy prostokąt o wymiarach 5×9 zatem, aby obliczyć pole tego prostokąta musimy pomnożyć 5 razy 9.

Pp= 5*9
Pp= 45

Następnie obliczamy objętość.

V= *Pp*H
Pp= 45
H= 15
V= *45*15
V= 225

Objętość drugiego ostrosłupa wynosi 225.

Na koniec musimy obliczyć o ile większą objętość ma jeden ostrosłup od drugiego.

400-225= 175

Odpowiedź: Ostrosłup, który ma w podstawie kwadrat ma objętość większą o 175 od drugiego ostrosłupa.