Objętość walca

Objętość walca
Aby dobrze zrozumieć pojęcie objętości walca, najpierw należy wspomnieć o paru innych bardzo ważnych pojęciach, które nam to ułatwią. A więc co to w ogóle jest ten cały walec?

Otóż walec to bryła obrotowa (czyli taka bryła geometryczna, która jest ograniczona powierzchnią i powstaje w wyniku obrotu figury płaskiej dookoła prostej, która się nazywa osią obrotu), który powstaje poprzez obrót prostokąta o bokach i dookoła boku , w ten sposób ten prostokąt zakreśla koło, które jest podstawą walca. Poniższe rysunki przedstawiają tę sytuację:

najpierw mamy prostokąt o bokach i , która obraca się dookoła boku , który nazywamy osią obrotu oraz będzie on wysokością naszego walca

w ten sposób nasz prostokąt zakreśla dwa okręgi (jeden na górze, a drugi na dole), których promień jest równy długości boku naszego prostokąta

po usunięciu pomocniczych linii powstaje nam bardzo ładny walec o wysokości (często zapisywanej też jako ) oraz promieniu

Skoro wiemy już jak wygląda i powstaje walec, to teraz przyszedł czas, aby nauczyć się najważniejszych pojęć w budowie walca, dzięki czemu łatwiej będzie nam zrozumieć polecenia zadań i się nie pomylimy. Na poniższym rysunku został przedstawiony walec, a jego najważniejsze elementy zostały zaznaczone na różne kolory, aby się nie pogubić co jest czym. Granatową linią został zaznaczony promień, który oznaczamy literą , na różowo zaznaczona jest średnica, czyli , ma ona wartość dwóch promieni (), na pomarańczowo zaznaczona jest oś obrotu, która jest również wysokością rzucaną na podstawy walca, ma ona wartość . Szara strzałka wskazuje, gdzie się znajduje górna podstawa walca, natomiast żółta strzałka wskazuje dolną podstawę walca.

Kolejny rysunek przedstawia przekrój osiowy walca. Kąt to kąt nachylenia przekątnej przekroju osiowego walca (oznaczonej literą ) do płaszczyzny podstawy.

Teraz przyszedł czas, aby zapoznać się z polem powierzchni całkowitej walca. W tym celu na poniższym rysunku walec został „rozpłaszczony”. Pole powierzchni całkowitej walca to suma pola jego postaw oraz pola powierzchni bocznej, są one znanymi nam figurami geometrycznymi – kołami i prostokątem (który w niektórych przypadkach może być kwadratem). Dlatego, aby obliczyć pole powierzchni całkowitej walca, wystarczy znać wzory na pola koła i prostokąta oraz dodatkowo wzór na długość okręgu.

Wzór na pole koła: gdzie to promień koła
Wzór na pole prostokąta: gdzie i są bokami tego prostokąta
Wzór na długość okręgu: gdzie to promień koła

Tak jak widać na poniższym rysunku pole powierzchni całkowitej walca to suma dwóch pól podstawy oraz pola powierzchni bocznej.

gdzie to pole jednej podstawy, a to promień podstawy, czyli koła

Aby obliczyć pole powierzchni bocznej należy obliczyć pole prostokąta ze wszystkim znanego wzoru na pole prostokąta, czyli
tylko że , a (zaznaczone na granatowo na rysunku) jest równe długości okręgu, czyli długość boku jest liczona ze wzoru na długość okręgu, który wygląda w następujący sposób:

Skoro jesteśmy w stanie już obliczyć pole powierzchni podstawy (musisz tylko pamiętać, że są one dwie, dlatego będzie trzeba pomnożyć pole powierzchni podstawy przez dwa) oraz pole powierzchni bocznej to możemy wyprowadzić wzór na pole powierzchni całkowitej walca. Aby to zrobić wystarczy zsumować dwa pola powierzchni podstawy oraz pole powierzchni bocznej. Wzór na pole powierzchni całkowitej walca wygląda w następujący sposób:

W powyższym wzorze można wyłączyć wspólny czynnik przed nawias ( ), ale nie jest to konieczne, jednak jeśli ktoś tak zrobi, to ten wzór wygląda w następujący sposób:

Ostatnim bardzo ważnym wzorem jest wzór na objętość walca. Jest to nic innego, jak po prostu iloczyn pola podstawy i wysokości walca. I wygląda to w następujący sposób:

Podczas wyprowadzania wzoru na pole powierzchni całkowitej walca, wyprowadziliśmy wzór na pole podstawy ( ) i teraz wystarczy po prostu z niego skorzystać i podstawić do , dzięki czemu otrzymujemy następujący wzór:

A co jeśli nie znamy albo nie pamiętamy wzoru na objętość walca? Czy da się obliczyć objętość walca jeszcze w jakiś sposób? Otóż, tak! Jest to eksperymentalne obliczanie objętości walca. Do przeprowadzenia tego eksperymentu potrzebne będą:

naczynie
woda ( )
waga kuchenna
kartka papieru i długopis
oraz oczywiście nasz walec, którego objętość poszukujemy

Przebieg doświadczenia:
1) Ważymy na wadze kuchennej nasze naczynie i zapisujemy wynik na kartce papieru.
2) Nalewamy do naczynia wody do pełna i jeszcze raz ważymy, a wynik zapisujemy na kartce.
3) Następnie liczymy wagę wody, która znajduje się w naczyniu, poprzez odjęcie wagi naczynia od wagi naczynia z wodą. Skoro znamy już masę wody oraz jej gęstość, to możemy obliczyć objętość wody, korzystając z następującego wzoru .
4) Następnie wkładamy walec do naczynia z wodą, tak aby wylała się objętość wody równa objętości walca i wyjmujemy go.
5) Teraz ważymy naczynie z wodą i obliczamy masę wody, która w nim została, a następnie liczymy jej objętość, korzystając ze wzoru .
6) Skoro znamy już objętość wody w naczyniu na początku i objętość wody w naczyniu na końcu, to zostało już tylko obliczyć ich różnicę, dzięki czemu poznamy objętość walce. (pamiętaj tylko, że będzie to przybliżona wartość, więc trzeba wziąć pod uwagę błąd pomiaru)

W ten sposób jesteśmy w stanie obliczyć objętość walca i jeśli chcemy możemy dowiedzieć się z jakiego materiału został wykonany, aby to zrobić należy zważyć walec, a następnie z następującego wzoru obliczyć jego gęstość . Gdy już obliczymy jego gęstość, wystarczy skorzystać z tabeli gęstości i znaleźć materiał z jakiego został nasz walec wykonany.

Czy w życiu codziennym możemy gdzieś spotkać walce?
Odpowiedź na to pytanie jest bardzo prosta, a mianowicie oczywiście, że tak. Każdy z nas chociaż raz w życiu, o ile nie codziennie widzi walec (i nie chodzi tylko o maszynę budowalną), nawet jeśli nie zdaje sobie z tego sprawy. Większość świeczek, niektóre piórniki, szklanki i latarki mają kształt walca. Ale również papier toaletowy czy bardzo znane (i pyszne) ciastka „hit” są tą bryłą obrotową.

Teraz mamy już ogromną wiedzę na temat walca, więc przyszedł czas, aby teorię przełożyć na praktykę.

Zadanie 1
Oblicz objętość walca, jeśli jego promień ma wartość 5cm, a wysokość 10cm.

Jest to bardzo proste zadanie, ponieważ mamy wszystkie dane, które są nam potrzebne do obliczenia szukanej w zadaniu rzeczy, najpierw jednak wypiszmy wszystko co wynika z treści polecenia.

Dane:

Szukane:

Rozwiązanie:
Teraz musimy przypomnieć sobie wzór na objętość walca, bo bez niego nic nie jesteśmy w stanie zrobić.

Skoro przypomnieliśmy sobie już wzór i znamy wszystkie wartości oprócz to możemy teraz podstawić dane pod wzór.

Teraz już wystarczy tylko napisać odpowiedź.

Odpowiedź:
Objętość walca o promieniu równym 5cm oraz wysokości równej 10cm, ma wartość .

Zadanie 2
Przekrój osiowy pewnego walca jest kwadratem o polu równym 16cm2. Narysuj odpowiedni rysunek, a następnie oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca.

Najpierw narysujmy rysunek, który wygląda w następujący sposób:

Na rysunku na szaro został zaznaczony przekrój osiowy walca, który zgodnie z treścią zadania jest kwadratem. Teraz wypiszmy wszystkie dane:

Dane:

Szukane:

Rozwiązanie:
Z treści zadania wiemy jeszcze, że Pp jest kwadratem, dlatego możemy wywnioskować z tego, że średnica podstawy jest równa długości boku kwadratu, możemy zapisać to w następujący sposób:

Korzystając ze wzoru na pole kwadratu możemy obliczyć bok przekroju osiowego walca.

Skoro znamy już długość boku a, które jest również wysokością naszego walca, to możemy teraz obliczyć długość promienia podstawy.

Teraz mamy już wszystkie potrzebne nam do obliczenia objętości i pola powierzchni całkowitej wartości, więc wystarczy je teraz tylko podstawić do wzorów i zadanie zostanie rozwiązane.

znamy długość promienia, a w tym przypadku H jest równe a, dlatego w tym przypadku wzór na objętość wygląda w następujący sposób:
teraz podstawiamy tylko potrzebne wartości i będziemy mieć wynik

Teraz zostało już tylko obliczyć pole powierzchni całkowitej walca i całe zadanie będzie rozwiązane. Najpierw zapiszemy wzór na pole powierzchni całkowitej walca, a potem podstawimy znane nam wartości.

tutaj również jak w obliczaniu objętości tego walca, H ma wartość a, czyli 4cm.


Skoro zrobiliśmy już wszystko o co prosili nas w zadaniu to znaczy narysowaliśmy walec oraz obliczyliśmy objętość walca i pole powierzchni całkowitej walca, to zostało tylko napisanie odpowiedzi i wszystko będzie zrobione 🙂

Odpowiedź: Objętość walca, którego przekrój osiowy jest kwadratem o polu 16cm2 ma wartość , natomiast pole powierzchni całkowitej tego walca ma wartość .

Zadanie 3
Bryła przedstawiona na rysunku jest wykonana z brązu o gęstości , oblicz jej masę. Przyjmij, że

Warto zauważyć, że ta bryła jest sześcianem, w którym wycięty został walec, dlatego aby obliczyć jej masę musimy znać jej objętość, a aby to zrobić wystarczy od objętości sześcianu odjąć objętość wyciętego w niej walca. Jednak najpierw wypiszmy dane, które wynikają z treści zadania oraz rysunku.

Dane:

Szukane:

Rozwiązanie:
Najpierw obliczmy objętość sześcianu korzystając z następującego wzoru:

Skoro znamy średnicę podstawy walca, to obliczymy długość promienia tego walca.

Teraz mamy już wszystkie potrzebne rzeczy aby obliczyć objętość wyciętego walca. Przyjrzyj się rysunkowi, to zauważysz, że wysokość walca H jest równa długości boku sześcianu, czyli H=a=4cm

Teraz możemy obliczyć objętość naszej bryły, aby to zrobić wystarczy od objętości sześcianu odjąć objętość walca.

Skoro znamy objętość i gęstość bryły, to możemy obliczyć jej masę, korzystając z następującego wzoru:

Odpowiedź: Masa bryły jest równa 452,672g