Oblicz miary kątów alfa beta gamma

W dziale geometrii bardzo często spotykamy się z zadaniami, które polegają na obliczeniu miar kątów. Mogą to być zadania z trójkątami, równoległobokami oraz innymi figurami geometrycznymi. Niemożliwe jest opisanie wszystkich typów zadań w jednym opracowaniu, ale postaram się przedstawić najpopularniejsze zadania z obliczaniem miar kątów.

Przykład 1
Dany jest trójkąt. Oblicz miarę kąta alfa.

Nie należy sugerować się tak zwaną metodą „na oko”. Może wyglądać, że kąt alfa jest kątem prostym, ale jeżeli wprost nie mamy napisane o tym fakcie lub nie obliczymy tego, nie możemy tak napisać.
Rysunki są często podglądowe, więc w takich zadaniach nie pomoże również zmierzenie kątów kątomierzem. Należy skorzystać z różnych faktów, własności, aby obliczyć miary kątów.

W tego typu zadaniach należy pamiętać, że suma miar wszystkich kątów trójkąta to 180 stopni. Dlatego możemy obliczyć miarę kąta alfa w poniższy sposób:

Przykład 2
Dany jest czworokąt. Oblicz miarę kąta alfa.

W tego typu zadaniach należy zastosować informację, że suma wszystkich kątów czworokąta wynosi 360 stopni.

Istnieje ogólny wzór na sumę miar kątów wewnętrznych w wielokątach:

gdzie n to liczba kątów.

Sprawdźmy wzór dla czworokąta:

Powyższy wzór należy wykorzystać jeżeli mamy zadanie z wielokątem, a nie znamy sumy miar jego wszystkich kątów wewnętrznych.

Przykład 3
Dany jest równoległobok. Oblicz miary kątów alfa, beta oraz gamma.

Wykorzystujemy poniższe informacje o równoległoboku:

Kąty naprzeciwległe są równe, czyli α = α oraz β = β.
Suma miar kątów leżących obok siebie wynosi 180 stopni.

Dzięki tym informacjom możemy napisać, że β = 130°.

α oraz γ są równe, dlatego γ = 50°

Przykład 4
Dany jest trójkąt, oblicz miary kątów alfa, beta, gamma.

W takim przypadku możemy być nieco zaskoczeni, ale zadanie jest naprawdę proste, wystarczy wiedzieć, jak do niego podejść.

Pierwszą własnością, którą należy znać to:


Są to tak zwane kąty przyległe.

Korzystając z tej informacji możemy obliczyć więc kąt alfa oraz kąt beta.
α = 180° – 130° = 50°
β = 180° – 150° = 30°

W ten sposób pozostał nam tylko kąt gamma do obliczenia. Korzystamy z informacji, że suma miar kątów trójkąta to 180 stopni.
γ = 180° – 50° – 30° = 100°

Przykład 5
Oblicz miary kątów alfa, beta oraz gamma.

Korzystamy z własności kątów wierzchołkowych:

Kąty wierzchołkowe są to kąty, które zostały utworzone poprzez przecięcie dwóch prostych.
Miary kątów wierzchołkowych są równe: α = α

Dlatego możemy rozwiązać nasze zadanie:
γ = 70 stopni
Dodatkowo można wywnioskować, że:

Możemy obliczyć trzeci kąt trójkąta.

Możemy wykorzystać, że kąt trójkąta o mierze 50 stopni oraz kąt beta są to kąty wierzchołkowe, więc są sobie równe.
β = 50°

Pozostał nam tylko kąt alfa, który możemy obliczyć korzystając z informacji o kątach przyległych.
α = 180° – 60° = 120°

Przykład 6
Oblicz miary kąta alfa. Skorzystaj z informacji, że a oraz b to proste równoległe, c to prosta, która przecina dwie proste równoległe.

Są to tak zwane kąty odpowiadające, można oznaczyć je jako:

Dwa kąty leżące po tej samej stronie po przecięciu przez prostą c są sobie równe.
Dlatego korzystając z tej własności możemy napisać, że kąt alfa ma miarę 60 stopni.