Podczas przedstawiania danych dobrze byłoby jedną liczbą przedstawić cały zbiór. Liczbą opisującą cały zbiór nazywamy średnią. Najpopularniejszymi rodzajami średnich jest średnia arytmetyczna i średnia ważona, ale istnieje jeszcze coś takiego jak mediana i moda.
Średnia arytmetyczna
Jedną z najłatwiejszych definicji średniej arytmetycznej to suma liczb, która jest podzielona przez ich liczbę, czyli:
m =
Dzięki znajomości tej definicji możemy obliczyć, np. średnią ocen ze sprawdzianu, średni wzrost w danym przedziale wiekowym, średnią cenę danego produktu w podanych sklepach.
Średnia ważona
Po usłyszeniu o średniej ważonej możemy dojść do wniosku, że jest to średnia danych liczb mających różne wagi. Wagi tych liczb muszą ∈R+ .Wzór na obliczanie średniej ważonej:
Z średnią ważoną najczęściej mamy do czynienia podczas liczenia, np. średniej ważonej ocen na semestr.
Mediana
Podczas obliczania mediany danego zbioru najpierw należy wypisać liczby należące do danego zbioru w kolejności rosnącej. Następnym krokiem jest wybór liczby środkowej. W przypadku, gdy mamy do czynienia z parzystą liczbą liczb w zbiorze to obliczamy średnią arytmetyczną dwóch liczb środkowych.
Moda
Najmniej popularnych z podanych nazw jest moda. Modą nazywamy wartość liczbową, która najczęściej się powtarza w danym zbiorze. Jeżeli każda wartość liczbowa występuje tyle samo razy to mody nie ma.
ZADANIA
ZADANIE 1
Oblicz średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę i modę podanych ocen uczniów z matematyki.
nr ucznia
|
|
ocena
|
waga
|
1
|
4
|
10
|
2
|
5
|
2
|
3
|
2
|
5
|
4
|
4
|
3
|
5
|
3
|
7
|
6
|
1
|
2
|
Zajmijmy się najpierw obliczaniem średniej arytmetycznej podanych ocen. Podstawiamy do wzoru.
Średnia arytmetyczna podanych ocen jest równa ok. 3,17.
Teraz obliczamy średnią ważoną. Również można skorzystać ze wzoru.
Średnia ważona podanych ocen jest równa ok. 3,28.
Nadszedł czas na obliczenie medianej.
Oto oceny uczniów wypisane w kolejności rosnącej:
1, 2, 3, 4, 4, 5
W podanym przypadku mamy do czynienia z parzystą liczbą ocen, jest ich 6. Należy zatem wybrać 2 środkowe liczby i obliczyć ich średnią arytmetyczną.
Mediana podanych ocen to 3,5.
Na końcu obliczmy modę.
Wybierzmy ocenę, która najczęściej występuje wśród uczniów.
Najczęściej występującą oceną jest 4. Występuje ona dwukrotnie.
Moda tych liczb to 4.
Odp. Średnia arytmetyczna podanych ocen to 3,17; średnia ważona ocen to 3,28; mediana ocen wynosi 3,5, a moda 4.
ZADANIE 2
Drużyna koszykówki składa się z 5 zawodników. Trener miał za zadanie obliczyć średnią arytmetyczną wzrostu zawodników. Paweł ma 182cm, Maciej 195cm, Kacper 189cm, Marcin 205cm, a Wojciech 192cm. Jaki wynik musiał podać trener, aby był prawidłowy?
Aby policzyć średnią arytmetyczną wzrostu zawodników należy dodać do siebie wzrost zawodników i podzielić przez ich liczbę.
cm
Odp. Trener musiał podać, że średnia arytmetyczna wzrostu zawodników wynosi 192,6cm.
ZADANIE 3
Mariusz interesuje się matematyką i jest ciekawy ile wynosi jego semestralna średnia ważona ocen z jego ulubionego przedmiotu. Mariusz dostał 3+ ze sprawdzianu o wadze 10; 5 z kartkówki o wadze 5; 4- za odpowiedź ustną o wadze 3; 6 za zadanie domowe o wadze 4 oraz 5 za aktywność na lekcji o wadze 1. Ile wynosi średnia ważona ocen Mariusza matematyki?
Dane z zadania podstawiamy do wzoru.
Odp. Średnia ważona ocen Mariusza z matematyki wynosi 4,36.
ZADANIE 4
Sześcienną kostką do gry rzucono pięciokrotnie. Za pierwszym razem wyrzucono 4 oczka, za drugim 2, za trzecim 3, za czwartym 6, a za piątym 1. Ustal medianę wyrzuconych oczek.
Zapisujemy liczby wypadniętych oczek w kolejności rosnącej.
1, 2, 3, 4, 6
Środkowa liczba to 3.
Odp. Mediana wyrzuconych oczek wynosi 3.
ZADANIE 5
Oblicz modę liczb -5, 3, 2, 8, 5, 4, -6.
Każda z podanych liczb występuje taką samo liczbę razy.
Odp. W tym zbiorze liczb nie występuje moda.
|
