Obrót

Obrót – w matematyce, w dziale dotyczącym geometrii, obrót płaszczyzny dookoła punktu o kąt skierowany, nazywamy takie przekształcenie płaszczyzny, w którym punktowi przyporządkowujemy punkt , a punktowi , który jest różny od punktu , punkt że spełniona jest równość:

Punkt nazywany jest środkiem obrotu o kąt , który nazywany jest kątem skierowanym. Na poniższym rysunku przedstawiony jest przykładowy kąt alfa. O taki kąt dokonamy obrotu.

Następnie narysować należy okrąg o środku w punkcie i odkładamy na nim nasz kąt obrotu. Dokonujemy tego na półprostej wyznaczonej przez punkty . Dzięki okręgowi o środku łatwiej zachować warunek .

Przykład:
Na poniższym rysunku przedstawiony został obrót pewnej figury o kąt alfa, który jest kątem prostym, czyli o mierze 90° dookoła punktu .

Na podstawie powyższego przykładu można stwierdzić, że złożenie symetrii osiowych względem prostych i przecinających się w punkcie , który jest wierzchołkiem kąta skierowanego , o który dokonywany jest obrót, a ramiona tego kąta leżą odpowiednio na prostych i , jest nazywany obrotem płaszczyzny dookoła punktu o kąt skierowany .
Powyższe twierdzenie zostało zobrazowane na poniższym rysunku:

Obrót na płaszczyźnie można przedstawić analitycznie, przedstawiając go we wzorach.
Jeżeli punkt jest początkiem układu współrzędnych, to obrót dookoła punktu o kąt skierowany polega na tym, że obrazem punktu
jest punkt . Zależności zachodzące pomiędzy współrzędnymi punktu i jego obrazem, czyli punktu można zapisać następująco:

oraz

Obrót o 180o jest symetrią środkową.

Obrót punktu w układzie współrzędnych można zilustrować tak jak na poniższym rysunku:

Punkt , który obrócony jest o kąt alfa wokół początku układu współrzędnych daje punkt
Przykład:
Punkt Znajdź punkt w obrocie o kąt skierowany alfa równy
Rozwiązanie: rysunek pomocniczy zilustruje nam szukany punkt .

Wartość kąta 80 stopni odczytamy z tablic matematycznych.
Następnie zgodnie ze wzorami szukamy punktu :
oraz

Odpowiedź: szukany punkt

Zadanie:
Jest dany punkt . Znajdź obraz punktu ’ w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt .
Rozwiązanie:
szukanym rozwiązaniem jest punkt .
Bazując na zależnościach dotyczących obrotu o kąt skierowany względem punktu , który jest środkiem układu współrzędnych podstawimy dane do wzoru:

Jeżeli i to:

Odpowiedź:
Punkt

Zadanie:
Znajdź obraz krzywej w obrocie dookoła punktu , który jest początkiem układu współrzędnych o kąt alfa o mierze równej .
Rozwiązanie:
na podstawie zależności :


oraz

Z powyższych zależności wynika zależność między współrzędnymi dowolnego punktu wykresu i jego obrazu:

Powyższe zależności należy podstawić do naszego wcześniejszego wzoru:

Odpowiedź: obrazem krzywej jest