Opracowanie:
Obwód elipsy

Obwód elipsy

Zweryfikowane

Elipsa to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny. Ich suma odległości od dwóch ogniskowych elipsy jest wielkością stałą. Można obliczyć pole ({\displaystyle S=\pi ab.}) i obwód elipsy ( {\displaystyle \ell \approx \pi \left({\tfrac {3}{2}}(a+b)-{\sqrt {ab}}\right),}). W obu wzorach aa oraz bb to półosie elipsy. Elipsa ma swoje odzwierciedlenie w przestrzeni trójwymiarowej (tak jak prostokąt ma odzwierciedlenie w prostopadłościanie) o nazwie elipsoida. Każda elipsa ma dwie osie - małą i wielką. Na ilustracji zaznaczone są półosie oraz b.

Kalkulator pól i objętości - elipsa


Wzór na obwód elipsy wygląda tak:

{\displaystyle \ell \approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\;\right]=\pi \left[3(a+b)-{\sqrt {10ab+3(a^{2}+b^{2})}}\;\right],}

choć można go zapisać dokładniej jako:

{\displaystyle \ell \approx \pi \left(a+b\right)\left(1+{\frac {3h}{10+{\sqrt {4-3h}}}}\right)}, gdzie: {\displaystyle h=(a-b)^{2}/(a+b)^{2}.}

Mimo wszystko, powyższe wzory są przybliżeniem. Dlatego dokładny wzór brzmi tak (gdzie EE to zupełna całka eliptyczna drugiego rodzaju oraz ee to mimośród elipsy):

{\displaystyle \ell =4aE(e^{2})=4aE\left(1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\right)=4a\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta =4a\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-e^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\ dt.}


Wzór na obwód elipsy jest tak zwaną całką eliptyczną oraz nie da się go w ogólnym przypadku zapisać w postaci algebraicznej. Dlatego najczęściej podaje się przybliżony wzór na obwód elipsy: l≈l\approx π(32(a+b)−ab)\left(\frac{3}{2}\left(a+b\right)-\sqrt{ab}\right) , gdyż jest najprostszym do obliczeń wzorem.


Przykładowe zadanie:

1.

Oblicz obwód elipsy o półosiach: 2cm oraz 5cm.

Dane:

a = 2cm

b = 5cm

Szukane:

ll = ?

Obliczenia:

l≈l\approx π(32(a+b)−ab)\left(\frac{3}{2}\left(a+b\right)-\sqrt{ab}\right)

l≈l\approx π(32(2+5)−2⋅5)\left(\frac{3}{2}\left(2+5\right)-\sqrt{2\cdot5}\right)

l≈l\approx π(1,5⋅7−10)\left(1,5\cdot7-\sqrt{10}\right)

l≈l\approx π10,5−1010,5-\sqrt{10}

l≈23l\approx23

Odpowiedź: Elipsa o półosiach 2 cm i 5 cm ma obwód około 23 cm.

Powyższe zadanie zostało zweryfikowane przez nauczyciela