Obwód trapezu

Obwód trapezu
Zacznę od tego czym jest trapez. Trapez to czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Tą parę boków nazywa się podstawami, a pozostałe dwa boki nazywamy ramionami trapezu. Wysokość trapezu jest odległością między jego podstawami. Suma kątów wewnętrznych w trapezie wynosi 360°, a suma miar kątów wewnętrznych leżących przy jednym ramieniu trapezu jest równa 180°.

Pole trapezu oblicza się mnożąc jego wysokość z połową sumy długości jego podstaw. Wzór ten wygląda tak:
P = h, gdzie a i b to długości podstaw tego trapezu, natomiast h jest jego wysokością;
Mniej znany wzór na pole trapezu wykorzystuje jedynie długości jego podstaw i ramion:
P = √[(a – b) + c + d]√[(a – b) + c – d]√[(a – b) – c + d]√[-(a – b) + c + d], gdzie a to długość krótszej podstawy trapezu, b jest dłuższą podstawą, a c i d to długości jego ramion;
Szczególne przypadki trapezów:

– Trapez równoramienny jest trapezem, którego ramiona mają równą długość. Jego obydwie przekątne również są równej długości. Kąty przy jednej podstawie takiego trapezu mają równe miary. Trapez równoramienny ma jedną oś symetrii, czyli prostą, która dzieli go na dwie identyczne części. Jego szczególnym przypadkiem jest równoległobok, który ma dwie pary boków równoległych o równej długości.

– Trapez prostokątny to trapez, który posiada co najmniej dwa kąty proste. Te kąty są przy jego ramieniu, które jest równocześnie wysokością tego trapezu.

Szczególnym przypadkiem trapezu prostokątnego jest prostokąt. Szczególnym przypadkiem prostokąta jest kwadrat.

Obwód trapezu to suma długości jego wszystkich czterech boków. Najczęściej wyraża się go wzorem:
L = a + b + c + d, gdzie a, b, c, d to boki tego trapezu;
Natomiast obwód trapezu równoramiennego liczy się ze wzoru:
L = 2a + b + c, gdzie a to długości ramion, a b i c to długości podstaw tego trapezu;

przykład 1
Oblicz obwód trapezu, którego ramiona wynoszą 6 cm i 8 cm, a długości podstaw to 2 cm i 14 cm.
Rozwiązanie:
L = a + b + c + d, podstawiamy długości boków;
L = 6 + 8 + 2 + 14 cm
L = 14 + 16 cm
L = 30 cm
odp. Obwód takiego trapezu wynosi 30 centymetrów.

przykład 2
Oblicz obwód trapezu równoramiennego, którego podstawy wynoszą 2 i 7, a długości ramion to 4.
Rozwiązanie:
L = 2a + b + c, podstawiamy długości boków;
L = 2*4 + 2 + 7
L = 8 + 9
L = 17

odp. Obwód tego wielokąta wynosi 17.

przykład 3
Ile razy dłuższy jest obwód trapezu równoramiennego od długości jednego z jego ramion, jeśli suma długości jego podstaw jest dziewięć razy większa od długości ramienia tego trapezu?
Rozwiązanie:
L = 2a + b + c, podstawiamy dane;
L = 2x + 9x, gdzie x jest długością ramienia tego trapezu;
L = 11x
odp. Obwód tego trapezu jest jedenaście razy dłuższy od długości jednego z jego ramion.

przykład 4
Oblicz obwód trapezu prostokątnego, wiedząc że jego długa podstawa ma długość 17 cm, a długości jego ramion to odpowiednio 15 i 9 centymetrów.
Rozwiązanie:
UWAGA: Twierdzenie Pitagorasa jest przypisywane greckiemu matematykowi Pitagorasowi. Twierdzenie to dotyczy trójkątów prostokątnych. Trójkąt prostokątny to trójkąt z jednym kątem prostym, czyli o mierze 90°. Treść tego twierdzenia brzmi następująco:
W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Każdy trójkąt prostokątny ma dwie przyprostokątne, czyli boki wychodzące z kąta prostego i jedną przeciwprostokątną, czyli bok leżący naprzeciw tego kąta.
Wzór na to twierdzenie wygląda tak:
a2 + b2 = c2, gdzie a i b to przyprostokątne, natomiast c to przeciwprostokątna tego trójkąta prostokątnego.
Jak wiemy krótszym bokiem trapezu prostokątnego jest ten przy którym są dwa kąty proste. Bok ten jest jednocześnie wysokością tego trapezu.
Wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa:
a2 + b2 = c2, gdzie a to wysokość trapezu, b to odcinek o który dłuższa podstawa jest dłuższa od krótszej podstawy, a c jest dłuższym ramieniem tego trapezu;
92 + b2 = 152 cm
b2 + 81 cm = 225 cm
b2 = 225 cm – 81 cm
b2 = 144 cm
b = 12 cm
17 cm – 12 cm = 5 cm, jest to długość krótszej podstawy tego trapezu;
Teraz obliczamy obwód ze wzoru:
L = a + b + c + d
L = 17 cm + 5 cm + 15 cm + 9 cm
L = 22 cm + 24 cm
L = 46 cm
odp. Obwód takiego trapezu prostokątnego wynosi 46 cm.