Obwód trójkata

Trójkąt to wielokąt, który ma dokładnie trzy boki. Suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180°. Inaczej jest to łamana zamknięta o trzech odcinkach. Jeden z odcinków jest często nazywany podstawą, a dwa pozostałe ramionami. Punkty wspólne odcinków trójkąta to wierzchołki. Trójkąt nie ma przekątnych.

Czym jest obwód? Obwód to suma długości wszystkich odcinków figury.
Trójkąt ma zawsze trzy boki, więc zawsze sumowane będą trzy długości.
Na powyższym rysunku literami , i zostały oznaczone boki trójkąta. Można stworzyć przykładowy wzór, który wygląda następująco:

– obwód trójkąta
– długości boków trójkąta

Istnieją jednak różne rodzaje trójkątów. Poniżej omówię różne przypadki.

Trójkąt różnoboczny
Trójkąt różnoboczny, to taki trójkąt, który ma wszystkie boki różnej długości. Nie ma tu dużo do opisywania, wystarczy jedynie zsumować jego boki, by obliczyć obwód.

Trójkąt równoramienny
Trójkąt równoramienny, to taki trójkąt, który ma dwa boki tej samej długości oraz dwa kąty (przy podstawie) tej samej miary. Zwykle takie dwa boki są nazywane wtedy ramionami, a trzeci bok, który ma inną długość, jest podstawą.

W takim trójkącie, aby obliczyć obwód tej figury, wystarczy nam znajomość długości dwóch boków (ramienia i podstawy). Możemy sobie w takim razie ułożyć wzór:

– obwód trójkąta
– długości boków trójkąta
Mnożymy przez 2, ponieważ trójkąt ma dwa takie same boki o długości .

Trójkąt równoboczny
Trójkąt równoboczny, to taki trójkąt, który ma wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty tej samej miary. Nie ma tu znaczenia, który bok jest podstawą, a które ramionami, gdyż wszystkie są takie same.

W takim trójkącie do obliczenia jego obwodu wystarczy nam znajomość długości jednego boku, gdyż jeśli znamy jeden z nich – znamy długość wszystkich. Możemy sobie w takim wypadku ułożyć następujący wzór:

– obwód trójkąta
– długość boku trójkąta
Mnożymy przez 3, ponieważ trójkąt ma trzy boki o długości , a można zapisać w postaci , czyli .

Trójkąt prostokątny
1) Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie pitagorasa mówi, że jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. Oznacza to, że jeśli dodamy do siebie przyprostokątne podniesione do kwadratu, to otrzymamy w wyniku przyprostokątną podniesioną do kwadratu.
Wzór twierdzenia Pitagorasa:

– przyprostokątne
– przeciwprostokątna

Przykłady:
Przykład 1
W pewnym trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości kolejno 5 i 8 cm. Oblicz przeciwprostokątną.
5 i 8 to wartości naszych i ze wzoru. Wystarczy je podstawić i obliczyć.


– kiedy dojdziemy do takiej postaci, należy usunąć z niewiadomej potęgę, a drugą stronę równania zapisać pod pierwiastkiem

Przykład 2
W pewnym trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 3 cm, a przeciwprostokątna 5 cm. Oblicz ile wynosi druga przyprostokątna.
3 możemy przyjąć jako nasze , a 5 jako . Wystarczy teraz podstawić do wzoru i obliczyć.

– w takim przypadku, gdzie liczby są po dwóch stronach znaku równości, wystarczy przerzucić jedną z nich na drugą stronę z przeciwnym znakiem

2) Trójkąt prostokątny równoramienny
Trójkąt prostokątny równoramienny to taki trójkąt, który ma kąt prosty i dwa boki tej samej długości. Ramiona tej samej długości są zawsze przy kącie prostym (przyprostokątne), a podstawa, która ma inną długość, znajduje się naprzeciwko kąta prostego (przeciwprostokątna). Przeciwprostokątna jest zawsze najdłuższym bokiem takiego trójkąta. Jak już wcześniej było powiedziane, kąt prosty znajduje się przy dwóch przyprostokątnych (kąt prosty czyli kąt 90°). Pozostałe dwa kąty, które znajdują się pomiędzy przeciwprostokątną i jedną z przyprostokątnych, mają tę samą miarę i w każdym przypadku jest to 45°. Taki trójkąt jest połową kwadratu (przeciwprostokątna jest przekątną kwadratu).

– przyprostokątne
– przeciwprostokątna

W takim trójkącie istnieje wzór, którym można obliczyć przeciwprostokątną. Jest to, jak można zauważyć na rysunku, . Jest to bardzo proste, gdyż długość przyprostokątnej wystarczy pomnożyć przez . Można też użyć go w drugą stronę – jeśli mamy podaną przeciwprostokątną – do obliczenia przyprostokątnej. Trzeba wtedy podzielić wartość przez ,
Do takiego trójkąta można posługiwać się wzorem:
.
– obwód trójkąta
– długość przyprostokątnej

Przykłady:
Przykład 1
Ile wynosi ?
jest przeciwprostokątną, więc można go obliczyć ze wzoru . Nasze wynosi .

Przykład 2
Ile wynosi ?
jest przeciwprostokątną, więc można go wyliczyć ze wzoru . Nasze a wynosi .

Przykład 3
Ile wynosi ?
jest przyprostokątną, a przeciwprostokątną. Aby obliczyć , wystarczy podzielić przeciwprostokątną przez.

Przykład 4
Ile wynosi ?
jest przyprostokątną, a przeciwprostokątną. Aby obliczyć , wystarczy podzielić przeciwprostokątną przez .
– usuwamy niewymierność z mianownika

Przykład 5
Kwadrat ma bok długości . Oblicz ile wynosi jego przekątna.

Szukamy więc tego odcinka, który oznaczę jako . Wiemy też, że przekątna dzieli kwadrat na dwie równe części, więc kąty, które podzieli, będą miały połowę miary z poprzedniej wartości (90°), czyli 45°.
Teraz powstały nam dwa trójkąty prostokątne równoramienne, więc wystarczy obliczyć tak samo, jak w poprzednich przykładach (w tym przypadku mamy podane , więc należy pomnożyć tę wartość przez ).

3) Trójkąt prostokątny o kątach 30°, 60°, 90°.
Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90° to taki trójkąt prostokątny, który zawsze, niezależnie od długości boków, ma kąty o miarach 30°, 60° i 90°. Taki trójkąt jest połową trójkąta równobocznego, gdzie dłuższy bok, będący przyprostokątną, jest wysokością trójkąta równobocznego.

– przeciwprostokątna
– przyprostokątne

Z rysunku można odczytać, że mając podaną przeciwprostokątną, można obliczyć obie przyprostokątne: dłuższą ze wzoru , a krótszą ze wzoru . Krótszą przyprostokątną obliczamy dzieląc przez 2, ponieważ jest to połowa przeciwprostokątnej, gdyż po połączeniu dwóch takich trójkątów wzdłuż dłuższej przyprostokątnej, powstanie trójkąt równoboczny o boku , w którym wysokość (dłuższa przyprostokątna) zawsze spada na podstawę, dzieląc ją na dwie równe części. Dłuższą przyprostokątną liczymy z wzoru, którego wyprowadzenie jest trochę cięższe. Poniżej przedstawię to wyprowadzenie wzoru.
– punkt wyjścia jest z twierdzenia Pitagorasa, i są przyprostokątnymi ( ma takie oznaczenie, gdyż ta przyprostokątna jest również wysokością trójkąta równobocznego, z którego własności wziął się ten wzór). Kolejną rzeczą jest wykonanie możliwych działań.
– po wykonaniu możliwych działań, pierwszy składnik przenosimy na drugą stronę ze zmienionym znakiem.
– odejmujemy.
– teraz wystarczy pozbyć się potęg, przez co po lewej stronie zostanie samo , a prawa strona będzie pod pierwiastkiem.
– obliczamy co możemy.
– możemy wrzucić do licznika co da nam naszą ostateczną postać: .

Dla ułatwienia możemy posługiwać się wzorem na obwód tego trójkąta:

– obwód trójkąta
– długość przeciwprostokątnej

Przykłady:
Przykład 1
Oblicz długości przyprostokątnych.
Naszym jest 4. Krótszą przyprostokątną wyliczymy ze wzoru , a dłuższą ze wzoru .
Podstawiamy do wzorów i obliczamy.

Przykład 2
Oblicz i .
jest krótszą przyprostokątną, której wzór wygląda następująco z tą różnicą, że naszym jest , więc wzór wygląda tak: . Aby obliczyć potrzebujemy . Robimy równanie.



Mając możemy go podstawić do wzoru na : .

Przykład 3
Oblicz i .
Podana jest jedynie wartość dłuższej przyprostokątnej, która wynosi , a jej wzór wygląda w tym przypadku: . Układamy równanie.



– usuwamy niewymierność z mianownika


Następnie obliczamy ze wzoru :

Przykład 4

Wiedząc, że obwód tego trójkąta wynosi 30 cm, oblicz jego wysokość i długość boku.
Jest to trójkąt równoboczny (ma dwa kąty 60°, więc trzeci również ma taką miarę). Możemy w ten sposób łatwo obliczyć długość boku, dzieląc obwód przez liczbę boków.

to długość boku.
Wiedząc, że jest to trójkąt prostokątny, wiemy też, że wysokość dzieli go na dwa trójkąty o kątach 30°, 60° i 90°. Stosujemy więc wzór: .