Opracowanie:
Odchylenie standardowe wzór

Odchylenie standardowe wzór

Zweryfikowane

W statystyce przeprowadza się tak zwane badania statystyczne. Celem takich badań jest określenie pewnych cech. Do badania statystycznego najważniejszym procesem jest wybranie odpowiedniej próby, czyli części populacji, która będzie podlegała pod to badanie. Najlepszym sposobem na wybranie populacji jest losowy dobór jednostek. Oczywiście zbadanie całej populacji jest niemożliwe. Po zebraniu wyników z badań, dane są analizowane oraz wyciąga się wniosek dla całej populacji. W tym celu wyznacza się różne miary. Najpopularniejsze to średnie arytmetyczne, mediany, modalne. Istnieją jeszcze miary dyspersji, które charakteryzują zróżnicowanie badanych cech. Wśród klasycznych miar dyspersji wyróżnia się między innymi wariancję, odchylenie standardowe.

Przed wprowadzeniem wzoru na odchylenie standardowe, opiszę czym jest wariancja, ponieważ jest to ściśle powiązane zagadnienie. Wariancja jest to średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń od średniej arytmetycznej zbiorowości. Może brzmieć to skomplikowanie, ale pokażę za chwilę wariancję na przykładzie. Odchylenie standardowe jest to pierwiastek z wariancji.
Możemy mieć dane różne szeregi. Szereg prosty jest najłatwiejszym szeregiem, dla którego łatwo obliczyć odchylenie standardowe. Rozważymy również szereg przedziałowy oraz punktowy.

Przykład 1 – Szereg prosty
W pierwszej klasie pewnej szkoły podstawowej jest 6 uczniów. Mieli sprawdzian z matematyki, oto ich oceny: 2, 3, 4, 5, 5, 5. Oblicz odchylenie standardowe.
Najpierw obliczymy średnią arytmetyczną.

Wzór na wariancję:

Wariancję oznaczamy symbolem .
xi to warianty zmienności cechy
x to średnia arytmetyczna
n to liczebność populacji

W naszym przypadku xi to będą poszczególne oceny.
Podstawiamy nasze dane do wzoru na wariancję:

Następnie obliczamy odchylenie standardowe:
Co możemy zrobić z takim wynikiem? Co on nam wnosi? Możemy wyznaczyć typowy obszar zmienności:
 < xtyp <
2,85 < xtyp < 5,15 Jak możemy zinterpretować powyższe zapisy?
Oceny uczniów z matematyki różnią się od średniej o 1,15.

Przykład 2 – Szereg punktowy



Ocena xi


Liczba uczniów ni


xi * ni


xi – x


(xi – x)2


(xi – x)2 * ni


1


2


1-3,1=-2,1


(-2,1)2=4,41


4,41 * 2 = 8,82


2


5


2-3,1=-1,1


1,21


1,21 * 5=6,05


3


6


18


-0,1


0,01


0,06


4


3


12


0,9


0,81


2,43


5


4


20


1,9


3,61


14,44


Razem


20


62




31,8



Trzecia kolumna powstaje poprzez pomnożenie wartości z pierwszej kolumny oraz z drugiej kolumny.
Dzięki trzeciej kolumnie możemy obliczyć średnią arytmetyczną:

Czwarta kolumna powstaje poprzez odjęcie od wartości z pierwszej kolumny średniej arytmetycznej.
Piąta kolumna powstaje poprzez podniesienie do kwadratu czwartej kolumny.
Szósta kolumna powstaje poprzez pomnożenie piątej kolumny przez drugą kolumnę.
Ostatni wiersz powstaje poprzez sumowaniu wszystkich wartości z danej kolumny.

Wariancja:
Aby obliczyć wariancję należy podzielić sumę wyników z ostatniej kolumny przez liczebność zbiorowości.

Przykład 3 – Szereg przedziałowy




Liczba punktów xi


Liczba uczniów ni


Środek klasy


d


d – x


(d – x)2


(d – x)2 * ni


0-2


2


1


1*2=2


1 – 4,8 = -3,8


14,44


28,88


2-4


3


3


3*3=9


3 – 4,8 = -1,8


3,24


9,72


4-6


10


5


5*10=50


5 – 4,8 = 0,2


0,04


0,4


6-8


5


7


7*5=35


7 – 4,8 = 2,2


4,84


24,2


Razem


20



96




63,2



W tym przypadku należy wyznaczyć środek klasy, oznaczę go literką d, żeby nie myliło się ze średnią oraz liczbą punktów.
Środek klasy wyznaczamy z przedziału, jeżeli mamy przedział 0 – 2 to środkiem jest 1.
Czwarta kolumna powstaje poprzez pomnożenie środka klasy przez liczebność przedziału.

Obliczamy średnią arytmetyczną:
x =

Piąta kolumna powstaje poprzez odjęcie od środka klasy średniej arytmetycznej.
Szósta kolumna powstaje poprzez podniesienie do kwadratu piątej kolumny.
Siódma kolumna powstaje przez pomnożenie szóstej kolumny przez liczebność przedziału.
Ostatni wiersz powstaje poprzez sumowaniu wszystkich wartości z danej kolumny.

Obliczamy wariancję:

Obliczamy odchylenie standardowe:

Powyższe zadanie zostało zweryfikowane przez nauczyciela
To top