Odległość między punktami

Obliczanie odległości między punktami możemy porównać do obliczania długości trasy pomiędzy dwoma miastami. Oczywiście można wyznaczyć odległość w linii prostej lub odległość po najkrótszych drogach. Obliczanie odległości między punktami przydaje nam się często w geometrii, na przykład w przypadku, kiedy mamy podaną figurę geometryczną w układzie współrzędnych. Do wyznaczenia długości boków wykorzystamy wzór na obliczanie odległości między punktami, a następnie możemy policzyć obwód figury lub pole powierzchni tej figury.

Niech dane będą dwa punkty. Oznaczymy je jako A oraz B. Współrzędne punktu A to . Współrzędne punktu B to .
Najpierw zaznaczmy te punkty na osi liczbowej.

Punkt A zaznaczony został kolorem zielonym, natomiast punkt B został zaznaczony kolorem czerwonym.
Zaznaczmy teraz odległość pomiędzy tymi dwoma punktami A oraz B.

Odległość pomiędzy punktem A, a punktem B została oznaczona fioletowym odcinkiem. Oznaczymy ją sobie literą d.

Wzór na odległość pomiędzy punktem A oraz B:

Co w przypadku jeżeli zapomnimy tego wzoru? Możemy go sobie sami stworzyć za pomocą twierdzenia Pitagorasa!

Dorysujemy boki tak, aby powstał trójkąt prostokątny.
Długość boku niebieskiego to
Długość boku jasnego zielonego to

Z tego wynika wzór na odległość pomiędzy punktami A oraz B.

Zadanie 1
Dany jest punkt A(1,3) oraz punkt B(5,3). Oblicz odległość pomiędzy tymi punktami.

Możemy oczywiście wykonać pomocniczy rysunek, ale nie jest to konieczne.

Jeżeli jeszcze nie jesteśmy biegli w odczytywaniu współrzędnych możemy sobie zapisać:
A(x1,y1)
B(x2,y2)

x1 = 1
y1 = 3

x2 = 5
y2 = 3

Teraz możemy podstawić powyższe dane do wzoru:

Nie ma znaczenia kolejność dzięki kwadratom. Sprawdźmy teraz odwrotne podstawienie:

Dlatego nie trzeba się przejmować, że musimy brać punkty w „dobrej kolejności”. Nigdy nie powinna nam oczywiście wyjść ujemna wartość po zastosowaniu tego wzoru. Jeżeli jednak tak wyjdzie, to znaczy, że mamy duży błąd i musimy sprawdzić swoje rozwiązania.