Odwzorowania liniowe

Definicja: Niech V,W to przestrzenie liniowe nad ciałem
Odwzorowanie nazywamy odwzorowaniem liniowym (przekształceniem liniowym lub homomorfizmem przestrzeni liniowych) jeśli ma własności:

jest to równoważne z:

dla

Uwaga 1: Jeśli jest spełniony warunek tylko pierwszy warunek to odwzorowanie nazywamy odwzorowaniem addytywnym

Uwaga 2: Jeśli jest spełniony warunek tylko drugi warunek to odwzorowanie nazywamy odwzorowaniem jednorodnym

Uwaga 3: Sprawdzenie czy odwzorowanie jest liniowe wymaga od nas byśmy sprawdzili czy jednocześnie zachodzą warunki 1 i 2 bo jeśli zachodzą to „one implikują nam liniowość tego odwzorowania” co sprowadza się do wykonania czterech kroków:
Krok 1: Należy wybrać dwa wektory i wyznaczyć wartość odwzorowania dla ich sumy:

Krok 2: Należy wyznaczyć dla tych wektorów wartość :

Krok 3: Należy sprawdzić czy uzyskano ten sam wynik w kroku 1 i 2 (jeśli tak to jest odwzorowaniem addytywnym.

Krok 4: Należy wybrać skalar i wcześniejszy wektor i wyznaczyć wartość odwzorowania dla ich iloczynu:

Krok 5 Wyznaczyć iloczyn

Krok 6: Należy sprawdzić czy uzyskano ten sam wynik w kroku 4, 5. Jeśli tak to jest odwzorowaniem jednorodnym

Krok 7: Jeśli krok 3 i 6 zachodzą jednocześnie to odwzorowanie jest odwzorowaniem jednorodnym

Przykłady odwzorowań liniowych
Przykład:
Niech ,
a)

Uzasadnienie
Ad a)
Krok 1:



Krok 2:

Krok 3:
Odwzorowanie jest odwzorowaniem addytywnym
Krok 4:


Krok 5:

Krok 6:
Odwzorowanie jest odwzorowaniem jednorodnym
Krok 7:
Odwzorowanie jest odwzorowaniem liniowym

Poniżej w przykładzie wybrano odwzorowania które nie są przykładami odwzorowań liniowych

Przykłady: Niech , :
a)
b)
c)
Uzasadnienie:
a)
Krok 1:
Wybierzmy dwa wektory :

Obliczmy wartość

Obliczmy wartość :

Krok 2:
Obliczmy wartość :

Krok 3:
Widzimy że

czyli funkcja nie jest odwzorowaniem addytywnym

Można pokazać że warunek 2 również nie zachodzi :
Krok 4:
Wybierzmy liczbę oraz zobaczmy czy warunek drugi jest spełniony
Obliczmy wartość :

Krok 5:
Obliczmy wartość :

Krok 6:

Odwzorowanie jest odwzorowaniem jednorodnym
Krok 7:
Odwzorowanie nie jest odwzorowaniem liniowym