Okrąg opisany na trójkącie

Dzisiaj dowiesz się, teorii związanej w okręgiem opisanym na trójkącie oraz dowiesz się, jak poprawnie rozwiązywać zadania z tym zagadnieniem związane.

Na początek musimy ustalić ważną rzecz. W każdy okrąg możemy wpisać trójkąt. Oznacza to, że jego wierzchołki pokrywają się z okręgiem. Ponadto zachodzi taka zależność, która brzmi tak: jeśli narysujesz symetralne każdego boku trójkąta, to przetną się one w jednym punkcie. Ten punkt stanowi środek okręgu opisanego.

Skoro już samy zrobiony taki ładny rysunek to możemy pokusić się o wypisanie wzoru, który umożliwia nam łatwe obliczenie długości promienia okręgu opisanego (tego większego).
Przede wszystkim zobaczmy, że na rysunku litery a, b, c oznaczają boki trójkąta. Promień okręgu wpisanego w trójkąt jest opisany literką r. Przyda nam się również znajomość wzoru, który pozwala nam obliczyć połowę obwodu trójkąta. Tę zależność opisuje się literką p, a wzór wygląda następująco:

W takim razie promień okręgu opisanego przedstawia się następująco:

W zasadzie to jest najważniejsza teoria, która przyda nam się do rozwiązywania zadań z tej tematyki. Przejdźmy do zadań.

Zadanie 1
Oblicz obwód trójkąta równobocznego opisanego na okręgu o promieniu .

Rozwiązanie zadania rozpoczynamy od narysowania okręgu. Następnie rysujemy w nim trójkąt równoboczny w taki sposób, aby wierzchołki trójkąta znajdowały się na okręgu. Kolejno rysujemy wszystkie trzy wysokości w trójkącie. Przecinają się one w środku trójkąta. Tym samym każda wysokość podzielona została przez ten punkt na i .

Skoro jest to trójkąt równoboczny, to wysokość przedstawić można jeszcze przy użyciu wzoru: . W takim razie stwórzmy sobie równanie z niewiadomą a.

a>0
Mnożymy razy 2 obie strony równania
Dzielimy obie strony równania przez pierwiastek z trzech

Obwód więc będzie się składać z trzech boków: L = a + a + a= 16 + 16 + 16 = 48

Odpowiedź: Obwód wynosi 48

zadanie 2
Został narysowany trójkąt prostokątny, w którym jedna przyprostokątna była o 4 dłuższa od drugiej przyprostokątnej. Oblicz wysokość tego trójkąta, która została opuszczona na przeciwprostokątną, wiedząc, że na tym trójkącie został opisany okrąg o promieniu .

Rozwiązanie zaczynamy od narysowania pomocniczego rysunku, a więc rysujemy okrąg i opisany na nim trójkąt prostokątny. Podpisujemy wierzchołki oraz zaznaczamy kąt ostry. Ponadto przypominamy sobie ważną informację, która mówi nam o tym, że środek okręgu znajduje się na środku przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego.

Zauważamy, że odcinek |CS| oraz |BS| są promieniami okręgu. Następnie oznaczamy niewiadomymi przyprostokątne. Przeciwprostokątna jest długości dwóch promieni okręgu. Pamiętamy również o założeniach.
x>0 x+4>0
x>0 x>-4

x>0

Kolejnym etapem jest po prostu zastosowanie twierdzenia pitagorasa na tym „dużym” trójkącie.
podnosimy do kwadratu
sumujemy elementy, które możemy zsumować
dzielimy każdy czynnik przez 2
przechodzimy do obliczania delty

sprzeczny wynik z założeniami

|AC| = 4
|AB| = x+4 = 4 + 4 = 8

Obliczmy teraz pole całego trójkąta.
to jest pole obliczone ze wzoru długość podstawy pomnożona razy długość wysokości i podzielona przez dwa. Oczywiście możemy te pole obliczyć jeszcze w drugi sposób, a więc tak jakby odwracając troszkę ten trójkąt i stawiając go na jego przeciwprostokątnej. Wtedy możemy przyrównać do obliczonego przez nas pola równego 16, długość przeciwprostokątnej pomnożonej razy h oraz podzielonej przez 2.

skracamy ułamek
dzielimy przez współczynnik przed h
jeszcze raz skracamy ułamek
rozszerzamy ułamek przez sprzężenie

Odpowiedź: Wysokość trójkąta opuszczonego na przeciw prostokątną wynosi .

Mam nadzieję, że teraz już jak poprawnie rozwiązywać zadania związane z okręgiem opisanym na trójkącie. Pamiętaj o tym, aby szczególną uwagę zwrócić na obliczenia. Bardzo łatwo się w nich pomylić. Ponadto zalecam, by za każdym razem rysować rysunek, który pomaga nam rozwiązań każde z zadań.