Okrąg wpisany w trapez

Okrąg wpisany w trapez

Wstęp:
Z tego opracowania dowiesz się jakie muszą zostać spełnione warunki, aby w trapez dało się wpisać okrąg.

Okrąg wpisany:
Okrąg możemy nazwać wpisanym w daną figurę, jeśli każdy z boków tej figury jest styczny do okręgu oraz kiedy okrąg jest „wewnątrz” tej figury. Przykład okręgu wpisanego w figurę geometryczną (czworokąt):

Okrąg wpisany w trapez:
W trapez można wpisać okrąg tylko wtedy, gdy dwusieczne wszystkich kątów w tym trapezie przecinają się w jednym punkcie (dwusieczne to półproste dzielące jeden kąt na dwa mniejsze o tych samych miarach (czyli dwusieczna dzieli kąt na dwie połowy)). Punkt przecięcia wszystkich dwusiecznych jest wtedy środkiem okręgu wpisanego w trapez. Przykład okręgu wpisanego w trapez:

Gdy jednak nie mamy pod ręką kątomierza, a chcemy sprawdzić, czy w dany trapez da się wpisać okrąg, to możemy skorzystać z tego, że jeśli w trapez da się wpisać okrąg to sumy długości przeciwległych boków tego trapezu są równe:

a + b = c + d

Powyższa równość wzięła stąd:
Suma podstaw trapezu, czyli suma: IABI + ICDI jest równa:
IABI + ICDI = (a + b) + (d + c) = a + b + c + d
Suma ramion trapezu, czyli suma: IADI + IBCI jest równa:
IADI + IBCI = (a + d) + (b + c) = a + b +c + d
A zatem prawdziwa jest równość: IABI + ICDI = IADI + IBCI

Podsumowanie:
W tym opracowaniu dowiedziałeś się jakie warunki muszą zostać spełnione, aby w trapez dało się wpisać okrąg.