Ortogonalność

Ortogonalność

Wstęp:
W tym opracowaniu przypomnisz sobie czym był iloczyn skalarny wektorów oraz dowiesz się czym jest ortogonalność.

Iloczyn skalarny wektorów – przypomnienie:
Jeśli mamy dane dwa wektory: v oraz w, przy czym v = [v1, v2], a w = [w1, w2], to ich iloczyn skalarny będzie wyrażać się wzorem:
v ° w = v1 w1 + v2 w2
(Oczywiście iloczyn skalarny da się również obliczać w przestrzeniach innych niż tradycyjna przestrzeń euklidesowa: gdy v = [v1, v2, …, vn] oraz w = [w1, w2, …, wn], to wtedy: v ° w = v1 w1 + v2 w2 + … + vn wn).

Ortogonalność – definicja:
Załóżmy, że mamy podane dwa wektory: v oraz w. Wektory te są ortogonalne, jeśli ich iloczyn skalarny jest równy zero (ogólnie, jeśli dwa (niezerowe) wektory są ortogonalne, to są również względem siebie prostopadłe).
Przykładowo chcemy sprawdzić czy wektory v = [2, 1] oraz w = [1, -2] są ortogonalne. Obliczamy ich iloczyn skalarny:
v ° w = 2 1 + 1 (-2) = 2 – 2 = 0
Iloczyn skalarny podanych wektorów jest równy zero, a zatem wektory v i w są ortogonalne.
Inny przykład: chcemy sprawdzić czy wektory v = [-5, 2, 7] oraz w = [4, 3, 2] są ortogonalne. Obliczamy ich iloczyn skalarny:
v ° w = (-5) 4 + 2 3 + 7 2 = (-20) + 6 + 14 = 0
Iloczyn skalarny wektorów v i w jest równy zero, a zatem są to wektory ortogonalne.

Co ciekawe jeśli jeden z wektorów (v lub w) jest wektorem zerowym, to wtedy iloczyn skalarny wektorów v i w również wynosi zero. Oznacza to, że wektor zerowy jest ortogonalny do dowolnego innego wektora.

Podsumowanie:
Z tego opracowania mogłeś sobie przypomnieć czym był iloczyn skalarny wektorów oraz dowiedziałeś się czym jest ortogonalność.