Ostrosłup

Ostrosłup

Ostrosłup to wielościan, w którym wszystkie ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku, a podstawa jest dowolnym wielokątem.

Rodzaje ostrosłupów

Czworościan foremny – ostrosłup, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi i są jednakowej wielkości.

Ostrosłup prosty – to taki ostrosłup, który ma wszystkie krawędzie boczne równej długości.

Ostrosłup prawidłowy – ostrosłup, który ma w podstawie wielokąt foremny.

*Wielokąt foremny – figura, której wszystkie boki mają jednakową długość.

Jak obliczyć liczbę krawędzi, wierzchołków i ścian w ostrosłupie?

Liczbę krawędzi w ostrosłupie obliczamy ze wzoru:
k = 2n
n- liczba kątów w wielokącie

Przykład 1 
Oblicz ile krawędzi ma ostrosłup, który ma ośmiokąt w podstawie.

Rozwiązanie:
Wzór na liczbę krawędzi ostrosłupa to k= 2n zatem w miejsce n wstawiamy liczbę odpowiadającą liczbie kątów w podstawie ostrosłupa.
n = 8
k = 2*8
k= 16
Odpowiedź: Ostrosłup ośmiokątny ma 16 krawędzi.

Przykład 2
Oblicz liczbę krawędzi w ostrosłupie prawidłowym pięciokątnym.

Rozwiązanie:
n =5
k =2*5
k =10
Odpowiedź: Ostrosłup prawidłowy pięciokątny ma 10 krawędzi.

Przykład 3
Oblicz liczbę krawędzi w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym

Rozwiązanie:
n= 4
k= 2n
k= 2*4
k= 8
Odpowiedź: Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma 8 krawędzi.

Przykład 4
Oblicz liczbę krawędzi w ostrosłupie prawidłowym, który ma dwudziestopięciokąt w podstawie.

Rozwiązanie:
n= 25
k= 2n
k= 2*25
k= 50
Odpowiedź: Ostrosłup, który ma dwudziestopięciokąt w podstawie ma 50 krawędzi.

Przykład 5
Ile krawędzi ma ostrosłup, który ma czterdziestokąt w podstawie.

Rozwiązanie:
n= 40
k=2n
k=2*40
k=80
Odpowiedź: Ostrosłup, który ma czterdziestokąt w podstawie ma 80 krawędzi.

Przykład 6
Rozwiązanie:
Ile krawędzi ma ostrosłup, który ma dwunastokąt w podstawie.
n= 12
k= 12*2
k= 24
Odpowiedź: Ostrosłup, który ma dwunastokąt w podstawie ma 24 krawędzie.

Przykład 7
Ile krawędzi ma ostrosłup, który ma w podstawie osiemnastokąt?

Rozwiązanie:
n= 18
k= 18*2
k= 36
Odpowiedź: Ostrosłup, który ma osiemnastokąt w podstawie ma 36 krawędzi.

Przykład 8
Oblicz ile krawędzi ma ostrosłup, który ma dziewiętnastokąt w podstawie.

Rozwiązanie:
n= 19
k= 2*19
k= 38
Odpowiedź: Ostrosłup, który ma dziewiętnastokąt w podstawie ma 38 krawędzi.

Przykład 9
Oblicz ile krawędzi ma ostrosłup, który ma w podstawie dwudziestokąt.
Rozwiązanie:
n= 20
k= 2*20
k= 40
Odpowiedź: Ostrosłup, który ma dwudziestokąt w podstawie ma 40 krawędzi.

Liczbę wierzchołków w ostrosłupie obliczamy za pomocą wzoru:
w= n+1
n- liczba wierzchołków w wielokącie

Przykład 1
Oblicz liczbę wierzchołków w ostrosłupie prawidłowym dwunastokątnym.
Rozwiązanie:
n = 12
w = 12 + 1
w= 13
Odpowiedź: Liczba wierzchołków w ostrosłupie prawidłowym dwunastokątnym wynosi 13.

Przykład 2
Ile wierzchołków ma ostrosłup prawidłowy dwudziestokątny?
Rozwiązanie:
n=20
w=20+1
w=21
Odpowiedź: Ostrosłup prawidłowy dwudziestokątny ma 21 wierzchołków.

Przykład 3
Oblicz ile wierzchołków ma ostrosłup którego podstawą jest szesnastokąt.
Rozwiązanie:
n=16
w=16+1
w=17
Odpowiedź: Ostrosłup o podstawie szesnastokąta ma 17 wierzchowców.

Przykład 4
Oblicz ile wierzchołków ma ostrosłup, który ma w podstawie trzydziestopięciokąt.
Rozwiązanie:
n= 35
w= 35+1
w= 36
Odpowiedź: Ostrosłup, który ma w podstawie trzydziestopięciokąt ma 36 wierzchołków.

Przykład 5
Ile wierzchołków ma ostrosłup, który ma w podstawie czterdziestopięciokąt?
Rozwiązanie:
n= 45
w= n+1
w= 45+1
w= 46
Odpowiedź: Ostrosłup, który ma czterdziestopięciokąt w podstawie ma 46 wierzchołków.

Przykład 6
Oblicz ile wierzchołków ma ostrosłup, który ma siedmiokąt w podstawie.
Rozwiązanie:
n= 7
w= 7+1
w= 8
Odpowiedź: Ostrosłup, który ma siedmiokąt w podstawie ma 8 wierzchołków.

Przykład 7
Oblicz ile wierzchołków ma ostrosłup, który ma trzynastokąt w podstawie.
Rozwiązanie:
n= 13
w= 13+1
w= 14
Odpowiedź: Ostrosłup, który ma trzynastokąt w podstawie ma 14 wierzchołków.

Przykład 8
Oblicz ile wierzchołków ma ostrosłup, który ma jedenastokąt w podstawie.
Rozwiązanie:
n= 11
w= 11+1
w= 12
Odpowiedź: Ostrosłup, który ma jedenastokąt w podstawie ma 12 wierzchołków.

Przykład 9
Ile wierzchołków ma ostrosłup, który ma osiemnastokąt w podstawie?
Rozwiązanie
n= 18
w= 18+1
w= 19
Odpowiedź: Ostrosłup który ma osiemnastokąt w podstawie ma 19 wierzchołków.

Liczbę ścian w ostrosłupie obliczamy przy pomocy wzoru:
s = n + 1
n- liczba kątów w podstawie wielokąta

Przykład 1
Oblicz liczbę ścian w ostrosłupie prawidłowym dziewięciokątnym.
Rozwiązanie:
n= 9
s=9+1
s=10
Odpowiedź: Ostrosłup prawidłowy dziewięciokątnym ma 10 ścian 

Przykład 2
Ile ścian ma ostrosłup, który ma w podstawie pięciokąt?
Rozwiązanie:
n=5
s=5+1
s=6
Odpowiedź: Ostrosłup o podstawie pięciokąta ma 6 ścian.

Przykład 3 
Oblicz ile ścian ma ostrosłup prawidłowy o podstawie czternastokąta.
Rozwiązanie:
n=14
s=14+1
s=15
Odpowiedź: Ostrosłup o podstawie czternastokąta ma 15 ścian.

Przykład 4
Oblicz ile ścian ma ostrosłup, który ma pięćdziesięciokąt w podstawie.
Rozwiązanie:
n= 50
s= 50+1
s= 51
Odpowiedź: Ostrosłup, który ma pięćdziesięciokąt w podstawie ma 51 ścian.

Przykład 5
Ile ścian ma ostrosłup, który ma osiemdziesięciokąt w podstawie?
Rozwiązanie:
n= 80
s= 80+1
s= 81
Odpowiedź: Ostrosłup, który ma osiemdziesięciokąt w podstawie ma 81 ścian.

Przykład 6
Ile ścian ma ostrosłup, który ma dziesięciokąt w podstawie?
Rozwiązanie:
n= 10
s= 10+1
s= 11
Odpowiedź: Ostrosłup, który ma dziesięciokąt w podstawie ma 11 ścian 

Przykład 7
Ile ścian ma ostrosłup, który ma piętnastokąt w podstawie.
Rozwiązanie:
n= 15
s= 15+1
s= 16
Odpowiedź: Ostrosłup, który ma piętnastokąt w podstawie ma 16 ścian 

Przykład 8
Oblicz ile ścian ma ostrosłup, który ma w podstawie siedemnastokąt.
Rozwiązanie:
n= 17
s= 17+1
s= 18
Odpowiedź: Ostrosłup, który ma siedemnastokąt w podstawie ma 18 ścian.

Przykład 9
Ile ścian ma ostrosłup, który ma dwudziestoczterokąt w podstawie?
Rozwiązanie:
n= 24
s= 24+1
s= 25
Odpowiedź: Ostrosłup, który ma dwudziestoczterokąt w podstawie ma 25 ścian.

Jak obliczyć pole podstawy?
Pole podstawy zależy od tego jaka figura znajduje się w podstawie ostrosłupa. Przykładowo jeśli chcemy obliczyć pole podstawy ostrosłupa, który ma kwadrat w podstawie musimy znać wzór na pole kwadratu, czyli P = a2.

Wzory na pola figur:
Pole kwadratu: P= a2
Pole prostokąta: P= a*b
Pole trójkąta: P= ½*a*h
Pole trójkąta równobocznego: P= (a2√3)4
Pole rombu: P= (e*f)/ 2
Pole równoległoboku: P= a*h
Pole deltoidu: P= (e*f) /2
Pole trapezu_P= (a+b) /2 * h

Jak obliczyć pole powierzchni całkowitej ostrosłupa?

Aby obliczyć pole powierzchni ostrosłupa trzeba obliczyć pole jego siatki, czyli sumę pola jego podstawy oraz pól ścian bocznych.

Pc= Pp+Pb
Pc- pole powierzchni całkowitej
Pb- pole powierzchni bocznej
Pp- pole powierzchni podstawy

Przykład 1
Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy równej 4 i krawędzi bocznej o długości 3.

Rozwiązanie:
Zacznijmy od obliczenia pola podstawy. Wnioskując z treści zadania figura w podstawie jest kwadratem zatem wzór na jej pole to:

Pp= a2
a= 4
Pp= 4*4
Pp= 16

Skoro wiemy już ile wynosi pole podstawy możemy przejść do obliczenia pola ścian bocznych. Wiemy, że ścianą ostrosłupa jest trójkąt o podstawie 4 i boku 3. Nie wiemy jednak ile wynosi wysokość ściany bocznej, a informacja ta potrzebna nam jest do obliczenia pola ściany bocznej. Musimy obliczyć ją zatem z twierdzenia Pitagorasa. Będzie wyglądało to następująco:

h – szukana wysokość
h2=32-22
h2=9-4
h2=5
h2=√5

Wiemy już że szukana wysokość wynosi √5, dlatego możemy teraz obliczyć pole ściany bocznej.

Do obliczenia pola powierzchni bocznej użyjemy wzoru na pole trójkąta i otrzymany wynik pomnożymy jeszcze przez 4, ponieważ jest to liczba ścian w tym ostrosłupie.

Pb= (½*4*√5)*4
Pb=8√5

Skoro wiemy już ile wynosi pole podstawy i pole powierzchni bocznej po dodaniu ich do siebie otrzymamy pole powierzchni całkowitej, ponieważ Pc=Pp+Pb
Pc=16+8√5

Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej wynosi 16+8√5.

Przykład 2
Oblicz pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego o krawędzi równej 8.

Rozwiązanie: 
Aby obliczyć to zadanie musimy najpierw przypomnieć sobie co to jest czworościan foremny, a jest to ostrosłup, który ma ściany i podstawę tej samej wielkości.

Skoro wiemy, że krawędź jest równa 8 możemy obliczyć pole jednej ściany z wzoru , a później otrzymany wynik pomnożyć jeszcze przez 4 (ponieważ mamy trzy ściany boczne i podstawę). Otrzymamy wtedy pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

a=8
Pc= (82√3)/4*4
Pc= 64√3
Odpowiedź: Pole całkowite tego ostrosłupa wynosi 64√3.

Przykład 3
Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa sześciokątnego o krawędzi podstawy równej 6 i krawędzi bocznej równej 4.

Rozwiązanie:
Pp=(62√3)/4*6
Pp=18√3*3
Pp= 54√3

Następnie liczymy wysokość ściany bocznej z twierdzenia pitagorasa i pole ściany bocznej ze wzoru ½ * a*h.

h2=42-32
h2=16-9
h2=7
h=√7

Pśb – pole ściany bocznej
Pśb = ½ * 6 * √7
Pśb = 3√7

Teraz możemy obliczyć pole powierzchni bocznej:
Pb = 3√7 * 6
Pb = 18√7 

Kiedy mamy obliczone pole powierzchni bocznej i pole podstawy dodajemy je do siebie, aby otrzymać pole powierzchni całkowitej.

Pc = 54√3 + 18√7

Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa wynosi 54√3 + 18√7.

Jak obliczyć objętość ostrosłupa?
Do obliczenia objętości ostrosłupa użyjemy wzoru V = ⅓ * Pp * H

Pp = pole podstawy
H = wysokość ostrosłupa
Musimy pamiętać, że jeśli mamy podane w zadaniu jednostki np. cm po obliczeniu objętości musimy zapisać tą jednostkę do potęgi trzeciej np. cm3

Przykład 1 
Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wiedząc, że krawędź jego podstawy jest równa 3, a wysokość ostrosłupa wynosi 5.

Rozwiązanie:
Musimy przypomnieć sobie wzór na objętość, czyli V = ⅓ * Pp * H. Z treści zadania wynika, że figurą w podstawie jest kwadrat, zatem pole podstawy obliczymy z wzoru P= a2.

Pp= 3*3
Pp= 9

Skoro wiemy już ile wynosi pole podstawy możemy przejść do obliczenia objętości, ponieważ w treści zadania mamy podaną wysokość.

Pp= 9
H= 5
V= ⅓ * Pp * H
V= ⅓ * 9 * 5
V= 15
Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa jest równa 15.

Przykład 2
Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy długości 6 i krawędzi bocznej równej 5.

Rozwiązanie:
Zacznijmy od obliczenia pola podstawy. Wiemy, że figura w podstawie jest kwadratem, a jej krawędź wynosi 6.

Pp= 6*6
Pp= 36

Żeby policzyć ile wynosi wysokość ostrosłupa musimy obliczyć najpierw obliczyć wysokość ściany bocznej z twierdzenia pitagorasa, ponieważ wiemy, że krawędź boczna jest równa 5, a połowa krawędzi podstawy 3. Wysokość ściany bocznej oznaczymy literą h.
h2= c2-b2
h2= 52-32
h2= 25-9
h2= 16
h= 4 

Możemy przejść do obliczenia wysokości ostrosłupa w ten sam sposób. Wysokość ostrosłupa oznaczamy literą H.

H2= c2-b2
H2= 42-32
H2= 16-9
H2= 5
H= √5

Znamy już zarówno wysokość ostrosłupa jak i pole podstawy dlatego teraz możemy bez problemu obliczyć objętość.

V= ⅓* Pp*H
V= ⅓ * 36*√5
V= 12√5
Odpowiedź: Objętość ostrosłupa wynosi 12√5.

Przykład 3
Oblicz objętość ostrosłupa, który w podstawie ma prostokąt o wymiarach 3×4, a jego wysokość jest równa 6.

Rozwiązanie:
Zacznijmy od obliczenia pola podstawy:
Pp= 3*4
Pp= 12

Następnie obliczamy objętość:
Pp= 12
H= 6
V= ⅓* Pp*H
V= ⅓* 12*6
V= 24
Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi 24.

Przykład 4
Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego, który ma w podstawie sześciokąt. Ostrosłup ma krawędź podstawy równą 4 i wysokość, która wynosi 5.

Rozwiązanie:
Zacznijmy od obliczenia pola podstawy. W tym przypadku w podstawie mamy sześciokąt o krawędzi 3 zatem wzór na pole podstawy to Pp=(a2√3)/4*6.

a= 4
Pp= (42√3)/4*6
Pp= (16√3)/4*6
Pp= 24√3

Pole podstawy w tym ostrosłupie jest równe 24√3. Teraz możemy obliczyć objętość.

V= ⅓ *Pp *H
V= ⅓ * 24√3*5
V= 40√3
Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi 40√3.

Przykład 5
Jaką objętość ma ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy 10 i wysokości równej 12.

Rozwiązanie:
Zacznijmy od obliczenia pola podstawy
Pp= 10*10
Pp= 100

Mamy już wszystkie potrzebne informacje dlatego możemy przejść do obliczenia objętości.

H= 12
Pp= 100
V= ⅓ * Pp * H
V= ⅓ * 100 * 12
V= 400
Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi 400.

Przykład 6
Oblicz objętość ostrosłupa czworokątnego, którego podstawa ma wymiary 6×8, a wysokość ostrosłupa wynosi 10.

Rozwiązanie:
Pp= 6*8
Pp= 48

V= ⅓ * Pp * H
V= ⅓ * 48 * 10
V= 160
Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi 160.

Przykład 7
Jaką objętość ma ostrosłup prawidłowy, który w podstawie ma trójkąt o krawędzi 8, a wysokość równą 12.

Rozwiązanie:
Na początku obliczymy pole podstawy ze wzoru P= (a2√3)/4, ponieważ wiemy, że w podstawie tego ostrosłupa znajduje się trójkąt równoboczny.

a= 8
Pp= (a2√3)/4
Pp= (64√3)/4
Pp= 16√3

Teraz obliczamy objętość tego ostrosłupa:

V= ⅓ * Pp * H
V= ⅓ * 16√3 * 12
V= 64√3
Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi 64√3.