Ostrosłup prawidłowy

Ostrosłup prawidłowy

Ostrosłup prawidłowy jest ostrosłupem, który ma w podstawie ma wielokąt foremny, czyli figurę, której
wszystkie boki są tej samej długości. Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego takimi samymi trójkątami.

Przykłady ostrosłupów prawidłowych:

Ostrosłup prawidłowy trójkątny
W podstawie ostrosłupa prawidłowego trójkątnego znajduje się trójkąt równoboczny. Pole podstawy takiego ostrosłupa obliczamy za pomocą wzoru:

– krawędź podstawy ostrosłupa

Ostrosłup prawidłowy czworokątny
W podstawie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego znajduje się kwadrat, zatem pole podstawy takiego ostrosłupa obliczymy z wzoru:

– długość krawędzi podstawy ostrosłupa

Ostrosłup prawidłowy sześciokątny
W podstawie ostrosłupa sześciokątnego znajduje się sześciokąt, którego wszystkie krawędzie podstawy mają jednakową długość. Wzór na pole podstawy ostrosłupa prawidłowego, który ma sześciokąt w podstawie to:

– krawędź podstawy ostrosłupa

Obliczanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego
Żeby obliczyć pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego musimy dodać do siebie jego pole podstawy oraz pole boczne.

Wzór na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego:

– pole powierzchni całkowitej
– pole podstawy ostrosłupa prawidłowego
– pole boczne ostrosłupa prawidłowego

Obliczanie objętości ostrosłupa prawidłowego
Aby obliczyć objętość ostrosłupa prawidłowego musimy pomnożyć jego pole podstawy razy wysokość i razy .

Wzór na objętość ostrosłupa prawidłowego:

– objętość ostrosłupa
– pole podstawy ostrosłupa
– wysokość ostrosłupa

Przykładowe zadania

Zadanie 1
Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa, którego krawędź podstawy ma długość 2 cm, a pole boczne tego ostrosłupa wynosi 10 cm2.

Rozwiązanie:
Najpierw obliczamy pole podstawy tego ostrosłupa. Wiemy, że w jego podstawie znajduje się kwadrat o boku 2 cm, zatem aby obliczyć jego pole skorzystamy ze wzoru na pole kwadratu: .

Pole podstawy tego ostrosłupa wynosi 4 cm2. Aby obliczyć pole całkowite tego ostrosłupa musimy dodać jego pole podstawy, czyli 4 cm2 do jego pola bocznego, które wynosi 10 cm2.

Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa wynosi 14 cm2.

Zadanie 2
Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa, który ma w podstawie trójkąt równoboczny o krawędzi 4 cm, a pole boczne tego ostrosłupa wynosi 16 cm2.

Rozwiązanie:
W podstawie tego ostrosłupa znajduje się trójkąt równoboczny o krawędzi 4 cm. Pole podstawy w tym ostrosłupie obliczymy za pomocą wzoru na trójkąt równoboczny, czyli .

Teraz możemy obliczyć pole całkowite tego ostrosłupa dodając do siebie jego pole podstawy i pole boczne.

Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa wynosi .

Zadanie 3
Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego, którego krawędź podstawy ma długość , a pole boczne tego ostrosłupa wynosi .

Rozwiązanie:
Zaczynamy od obliczenia pola podstawy tego ostrosłupa. Wiemy, że w jego podstawie znajduje się sześciokąt o boku 6 cm, zatem aby obliczyć pole podstawy tego ostrosłupa skorzystamy ze wzoru: .

Wiemy, że pole podstawy tego ostrosłupa wynosi , a jego pole boczne , dlatego teraz obliczamy jego pole całkowite.

Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa z sześciokątem w podstawie wynosi .

Zadanie 4
Martyna i Joanna rysowały na kartce ostrosłupy prawidłowe. Martyna narysowała ostrosłup prawidłowy trójkątny, którego krawędź podstawy wynosi 12 cm, a jego wysokość 7 cm. Joanna narysowała ostrosłup prawidłowy sześciokątny, którego krawędź podstawy ma długość 4 cm, a wysokość 11 cm. Oblicz, która z dziewczynek narysowała ostrosłup o większej objętości.

Rozwiązanie:
Zaczynamy od obliczenia pola podstawy ostrosłupa narysowanego przez Martynę. Ostrosłup, który Martyna narysowała na kartce w podstawie ma trójkąt równoboczny o boku 12 cm, więc żeby obliczyć jego pole musimy skorzystać z wzoru .

Wiemy ile wynosi pole podstawy ostrosłupa narysowanego przez Martynę, dlatego teraz możemy obliczyć jego objętość.

Objętość ostrosłupa narysowanego przez Martynę wynosi .

Teraz obliczamy pole podstawy ostrosłupa narysowanego przez Joannę. Ostrosłup ten ma w podstawie sześciokąt foremny, zatem jego pole obliczymy ze wzoru .

Teraz obliczamy objętość tego ostrosłupa.

Odpowiedź: Joanna narysowała ostrosłup o większej objętości niż Martyna.