Ostrosłup prawidłowy czworokątny

Ostrosłup prawidłowy czworokątny

Ostrosłup prawidłowy czworokątny jest ostrosłupem mającym czworokąt foremny w podstawie, czyli kwadrat.

Obliczanie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

Żeby obliczyć pole całkowite ostrosłupa prawidłowego czworokątnego musimy dodać jego pole podstawy do pola bocznego tego ostrosłupa.

Wzór na pole całkowite ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

– pole całkowite ostrosłupa prawidłowego czworokątnego
– pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego
– pole boczne ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

Obliczanie objętości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

Żeby obliczyć objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego musimy pomnożyć razy pole podstawy tego ostrosłupa i razy wysokość.

Wzór na objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

– objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego
– pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego
– wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

Trzeba pamiętać, że objętość ostrosłupa zawsze zapisujemy w jednostkach sześciennych, np. mm3, cm2, dm3.

Obliczanie pola podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

Żeby oblicz pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego musimy skorzystać z wzoru na pole kwadratu, czyli , ponieważ wiemy, że w podstawie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego zawsze będzie znajdował się kwadrat.

Zadanie 1
Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, który w podstawie ma kwadrat o boku 6 cm, a wysokość tego ostrosłupa ma długość 10 cm.

Rozwiązanie:
Zaczynamy od obliczenia pola podstawy tego ostrosłupa. Wiemy, że w jego podstawie znajduje się kwadrat o boku 6 cm, zatem do obliczenia jego pola użyjemy wzoru .

Następnie obliczamy objętość tego ostrosłupa mnożąc razy pole podstawy tego ostrosłupa, które wynosi 36 cm2 i razy wysokość tego ostrosłupa, która ma długość 10 cm.

Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 120 cm3.

Zadanie 2
Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego pole podstawy wynosi 16 cm2, a pole boczne 40 cm2.

Rozwiązanie:
Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa obliczymy dodając do siebie jego pole podstawy, które wynosi 16 cm2 do jego pola bocznego równego 40 cm2.

Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa wynosi 56 cm2.

Zadanie 3
Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, który ma w podstawie kwadrat o krawędzi 7 cm, jego wysokość ma długość 9 cm, a jego pole boczne wynosi 70 cm2.

Rozwiązanie:
Na początek obliczamy pole podstawy tego ostrosłupa mnożąc 7 cm razy 7 cm.

Pole podstawy tego ostrosłupa wynosi 49 cm2.

Następnie obliczmy pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa dodając jego pole podstawy, które wynosi 49 cm2 do jego pola bocznego równego 70 cm2.

Teraz obliczmy objętość tego ostrosłupa mnożąc razy pole podstawy tego ostrosłupa, które wynosi 49 cm2 i razy jego wysokość równą 9 cm.

Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa wynosi 119 cm2, a jego objętość 147 cm3.

Zadanie 4
Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, który w podstawie ma kwadrat o boku 14 cm, a jego ściany boczne są trójkątami równoramiennymi, które mają wysokość równą 12 cm.

Rozwiązanie:
Zaczynamy od obliczenia pola podstawy tego ostrosłupa. Wiemy, że kwadrat w jego podstawie ma bok o długości 12 cm, zatem pole tego kwadratu obliczymy mnożąc 12 cm razy 12 cm.

Następnie obliczamy pole boczne tego ostrosłupa. Wiemy, że jedna ściana boczna tego ostrosłupa jest trójkątem równoramiennym o podstawie 12 cm i wysokości równej 14 cm, zatem pole jednej ściany obliczymy mnożąc razy 12 cm i razy 14 cm, a pole boczne otrzymamy kiedy pole jednej ściany bocznej pomnożymy razy 4.

Pole jednej ściany bocznej tego ostrosłupa wynosi 72 cm2.

Teraz obliczamy pole boczne tego ostrosłupa mnożąc 72 cm2 razy 4.

Pole boczne tego ostrosłupa wynosi 288 cm2.

Teraz obliczamy pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa dodając jego pole podstawy, które wynosi 144 cm2 do jego pola bocznego równego 288 cm2.

Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 432 cm2.

Zadanie 5
Oblicz długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego objętość wynosi 576 cm3, a jego wysokość jest równa 9 cm.

Rozwiązanie:
Żeby obliczyć długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa najpierw musimy obliczyć jego pole podstawy dzieląc 576 cm3, czyli objętość tego ostrosłupa przez 9 cm, czyli długość jego wysokości.

Wiemy, że pole podstawy tego ostrosłupa wynosi 64 cm2, zatem żeby obliczyć długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa 64 cm2 musimy podstawić do wzoru na pole kwadratu, czyli , a następnie wykonać równanie.

/

Odpowiedź: Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość 8 cm.

Zadanie 6
Oblicz pole boczne ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, który w podstawie ma kwadrat o boku 5 cm, a pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest równe 150 cm2.

Rozwiązanie:
Zaczynamy od obliczenia pola podstawy tego ostrosłupa. Żeby to zrobić musimy 5 cm pomnożyć razy 5 cm.

Teraz obliczamy pole boczne tego ostrosłupa odejmując od jego pola całkowitego, które wynosi 150 cm2 jego pole podstawy, czyli 25 cm2.

Odpowiedź: Pole boczne tego ostrosłupa wynosi 125 cm2.

Zadanie 7
Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 4 cm, a jego wysokość jest trzy razy dłuższa niż krawędź podstawy tego ostrosłupa.

Rozwiązanie:
Zaczynamy od obliczenia pola podstawy tego ostrosłupa.

Teraz obliczamy długość wysokości tego ostrosłupa mnożąc 4 cm razy trzy, ponieważ wiemy, że wysokość tego ostrosłupa jest trzy razy dłuższa niż krawędź podstawy tego ostrosłupa.

Wiemy już ile wynosi pole podstawy i wysokość tego ostrosłupa, dlatego teraz możemy obliczyć jego objętość.

Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa wynosi 64 cm2.

Zadanie 8
Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 9 cm, pole boczne tego ostrosłupa jest równe 250 cm2, a jego wysokość wynosi 10 cm.

Rozwiązanie:
Zaczynamy od obliczenia pola całkowitego tego ostrosłupa. Wiemy, że krawędź jego podstawy ma długość 9 cm, zatem żeby obliczyć pole podstawy tego ostrosłupa musimy 9 cm pomnożyć razy 9 cm.

Pole podstawy tego ostrosłupa wynosi 81 cm2.

Teraz obliczamy pole całkowite tego ostrosłupa dodając jego pole podstawy równe 81 cm2 do jego pola bocznego, które wynosi 250 cm2.

Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa wynosi 331 cm2.

Teraz obliczamy objętość tego ostrosłupa mnożąc razy pole jego podstawy, które wynosi 81 cm2 i razy jego wysokość równą 10 cm.

Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa wynosi 331 cm2, a jego objętość 270 cm3.

Zadanie 9
Oblicz ile wynosi wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 5 cm, a objętość tego ostrosłupa jest równa 175 cm3.

Rozwiązanie:
Zaczynamy od obliczenia pola podstawy tego ostrosłupa.

Żeby obliczyć długość wysokości tego ostrosłupa musimy jego objętość czyli 175 cm3 podzielić przez pole jego podstawy, które wynosi 25 cm2.

Odpowiedź: Wysokość tego ostrosłupa ma długość 7 cm.

Zadanie 10
Agnieszka narysowała na kartce dwa ostrosłupy prawidłowe czworokątne z czego jeden z nich pokolorowała na czerwono, a drugi na zielono. Czerwony graniastosłup ma pole podstawy równe 22 cm2 i wysokość o długości 6 cm, a zielony ostrosłup ma wysokość równą 4 cm, a jego pole podstawy wynosi 24 cm2. Oblicz, który z ostrosłupów narysowanych przez Agnieszkę ma większą objętość.

Rozwiązanie:
Zaczynamy od obliczenia objętości czerwonego ostrosłupa, którego pole podstawy wynosi 22 cm2, a wysokość 6 cm.

Objętość czerwonego ostrosłupa wynosi 44 cm3.

Następnie obliczamy objętość zielonego ostrosłupa, którego pole podstawy wynosi 24 cm2, a jego wysokość ma długość 4 cm.

>

Odpowiedź: Czerwony ostrosłup ma większą objętość niż zielony ostrosłup.

Zadanie 11
Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego pole bocznej wynosi 200 cm2, a pole podstawy tego ostrosłupa jest pięć razy mniejsze niż pole boczne tego ostrosłupa.

Rozwiązanie:
Żeby obliczyć ile wynosi pole podstawy tego ostrosłupa musimy 200 cm2, czyli jego pole boczne podzielić na 5, ponieważ wiemy, że pole podstawy tego ostrosłupa jest pięć razy mniejsze od pola bocznego tego ostrosłupa.

Teraz możemy obliczyć pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa dodając 40 cm2 do 200 cm2.

Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa wynosi 240 cm2.

Zadanie 12
Oblicz objętość ostrosłupa, którego krawędź podstawy ma długość 15 cm, a wysokość tego ostrosłupa wynosi 20 cm.

Rozwiązanie:
Na początek obliczamy pole podstawy tego ostrosłupa mnożąc 15 cm razy 15 cm.

Teraz obliczamy objętość tego ostrosłupa.

Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 1500 cm3.